[논문 리뷰] Rank Two Bound Entangled States Do Not Exist

Paweł Horodecki, John A. Smolin외 2명|arXiv (Cornell University)|1999. 10. 29.

Quantum Information and Cryptography인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 랭크가 두 개인 유 bound 엔트로피 상태가 존재하지 않음을 증명한다. 이를 위해 상태의 랭크, 그 경계 상태의 랭크(마진럴 랭크) 및 재결합 가능성 사이의 연결 고리를 확립한다. 핵심 기여는 랭크-n bound 엔트로피 상태가 최대 n×n 힐베르트 공간에만 지지되어야 한다는 구조적 제약 조건을 제시하는 것으로, 이는 랭크-두 예제를 배제하고, 순수한 얽힘 상태와 순수한 제품 상태의 혼합물이 항상 재결합 가능하다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We explore the relation between the rank of a density matrix and the existence of bound entanglement. We show a relation between the rank, marginal ranks, and distillability of a mixed state and use this to prove that any rank n bound entangled state must have support on no more than an n øtimes n Hilbert space. A direct consequence of this result is that there are no bound entangled states of rank two. We explore the idea of how many pure states are needed in a mixture to cancel the distillable entanglement of a Schmidt rank n pure state and provide a lower bound of n-1. We also prove that a mixture of a non-zero amount of any pure entangled state with a pure product state is distillable.

연구 동기 및 목표

• 밀도 행렬의 랭크와 bound 엔트로피 존재 가능성 간의 관계를 조사하는 것.
• 랭크가 두 개인 bound 엔트로피 상태가 존재할 수 있는지 확인하는 것.
• 랭크-n bound 엔트로피 상태의 지지체에 대한 구조적 제약 조건을 수립하는 것.
• 스미스 랭크-n 순수 상태의 재결합 가능한 엔트로피를 상쇄하기 위해 필요한 최소 순수 상태 수를 탐색하는 것.
• 순수한 얽힘 상태와 순수한 제품 상태를 포함하는 혼합 상태의 재결합 가능성 분석

제안 방법

• 혼합 양자 상태의 랭크, 그 감소 밀도 행렬(마진럴 랭크)의 랭크 및 재결합 가능성 간의 관계를 유도하는 것.
• 이 랭크-마진럴-재결합 가능성 관계를 활용해 랭크-n bound 엔트로피 상태가 요구하는 힐베르트 공간 차원을 제약 조건화하는 것.
• 이 제약 조건을 적용하여 랭크-n bound 엔트로피 상태는 반드시 n×n 힐베르트 공간에 지지되어야 한다는 것을 보이는 것.
• 재결합 가능성 개념과 순수 상태의 슈미트 분해를 포함한 엔트로피 이론 도구를 활용하는 것.
• 스미스 랭크-n 순수 상태의 재결합 가능한 엔트로피를 상쇄하기 위해 필요한 최소 순수 상태 수를 분석하여 하한을 유도하는 것: n−1.
• 순수한 얽힘 상태의 비영일 농도를 순수한 제품 상태와 혼합하면 항상 재결합 가능한 상태가 된다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 양자 시스템에서도 랭크가 두 개인 bound 엔트로피 상태가 존재할 수 있는가?
• RQ2 랭크-n bound 엔트로피 상태에 필요한 최대 힐베르트 공간 차원은 얼마인가?
• RQ3 스미스 랭크-n 순수 상태의 재결합 가능한 엔트로피를 상쇄하기 위해 혼합물에 필요한 순수 상태의 수는 몇 개인가?
• RQ4 순수한 얽힘 상태와 순수한 제품 상태의 혼합물은 항상 재결합 가능한가?
• RQ5 주어진 순수한 얽힘 상태의 재결합 가능성을 상쇄하기 위해 필요한 최소 순수 상태 수는 얼마인가?

주요 결과

• 랭크와 마진럴 랭크 제약 조건을 통한 재결합 가능성 분석을 통해, 랭크가 두 개인 bound 엔트로피 상태는 존재하지 않음이 증명됨.
• 모든 랭크-n bound 엔트로피 상태는 최대 n×n 힐베르트 공간에 지지되어야 함.
• 스미스 랭크-n 순수 상태의 재결합 가능한 엔트로피를 상쇄하기 위해 필요한 최소 순수 상태 수는 최소 n−1개 이상임.
• 순수한 얽힘 상태의 비영일 농도를 순수한 제품 상태와 혼합하면 항상 재결합 가능한 상태가 됨.
• 랭크, 마진럴 랭크 및 재결합 가능성 간의 연결 고리가 되는 구조적 제약 조건은 낮은 랭크 상태에서 bound 엔트로피를 배제하는 데 강력한 도구가 됨.