[논문 리뷰] Ranking Function Synthesis for Linear Lasso Programs

Jan Leike|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 21.

Machine Learning and Algorithms참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 랭킹 함수 템플릿을 사용하여 선형 라소 프로그램에서 종료 증거를 제약 기반으로 완전하게 합성하는 방법을 제안한다. 이는 새로운 다단계, 조각별, 사전순 형태의 랭킹 함수를 포함한다. 기존의 파르카스의 보조정리 대신 모츠킨의 전치 정리를 사용함으로써 엄밀한 부등식을 처리하고, 다양한 랭킹 함수 유형을 지원하며, 애फ린-선형 템플릿과 고정된 불변 집합에 대해 타당성과 완전성이 증명된다.

ABSTRACT

The scope of this work is the constraint-based synthesis of termination arguments for the restricted class of programs called linear lasso programs. A termination argument consists of a ranking function as well as a set of supporting invariants. We extend existing methods in several ways. First, we use Motzkin's Transposition Theorem instead of Farkas' Lemma. This allows us to consider linear lasso programs that can additionally contain strict inequalities. Existing methods are restricted to non-strict inequalities and equalities. Second, we consider several kinds of ranking functions: affine-linear, piecewise and lexicographic ranking functions. Moreover, we present a novel kind of ranking function called multiphase ranking function which proceeds through a fixed number of phases such that for each phase, there is an affine-linear ranking function. As an abstraction to the synthesis of specific ranking functions, we introduce the notion ranking function template. This enables us to handle all ranking functions in a unified way. Our method relies on non-linear algebraic constraint solving as a subroutine which is known to scale poorly to large problems. As a mitigation we formalize an assessment of the difficulty of our constraints and present an argument why they are of an easier kind than general non-linear constraints. We prove our method to be complete: if there is a termination argument of the form specified by the given ranking function template with a fixed number of affine-linear supporting invariants, then our method will find a termination argument. To our knowledge, the approach we propose is the most powerful technique of synthesis-based discovery of termination arguments for linear lasso programs and encompasses and enhances several methods having been proposed thus far.

연구 동기 및 목표

• 선형 라소 프로그램에서 종료 증거를 합성하기 위한 완전하고 타당한 방법을 개발하는 것.
• 기존의 제약 기반 방법을 확장하여 엄밀한 부등식을 처리할 수 있도록 하되, 이전 방법들이 정수 전용 보완 조치 없이 이를 처리하지 못했던 점을 보완하는 것.
• 형식적인 랭킹 함수 템플릿 프레임워크를 통해 애फ린-선형, 조각별, 사전순, 다단계 랭킹 함수의 합성을 통합하는 것.
• 합성 과정에서 발생하는 비선형 대수적 제약의 계산 난이도를 평가하고, 일반적인 비선형 제약보다 더 다룰 수 있는 형태임을 보여주는 것.
• 고정된 구조의 증거에 대해 완전성을 보장함으로써 실용적인 종료 분석을 가능하게 하고, 정수 라소 프로그램과 결정 가능성 문제에 대한 열린 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• 기존의 파르카스의 보조정리 대신 모츠킨의 전치 정리를 사용하여 선형 라소 프로그램에서 엄밀한 부등식을 처리함으로써 이전 방법보다 더 넓은 적용 범위를 확보한다.
• 애फ린-선형, 조각별, 사전순, 다단계 랭킹 함수의 공식적 통합을 위해 랭킹 함수 템플릿 개념을 도입한다.
• 프로그램 전이와 불변 집합에서 비선형 대수적 제약을 구성하며, 고정된 불변 집합에 대해 타당성과 완전성이 증명된다.
• 결과로 발생하는 제약을 해결하기 위해 원통형 대수적 분해(CAD)를 적용하며, 이 제약들이 일반적인 비선형 시스템보다 덜 복잡하다는 이론적 근거를 제시한다.
• 순서수 산술을 사용하여 랭킹 함수의 잘 서식된 성질을 공식적으로 분석하기 위해 순서수 랭킹 등가를 정의한다.
• 변환 전후의 제약의 비선형 차원을 평가하여 복잡도 추정과 알고리즘 타당성의 가이드라인을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀한 부등식을 포함한 선형 라소 프로그램에 대해 제약 기반 종료 증거 합성 방법이 완전하게 작동할 수 있는가?
• RQ2 애फ린-선형, 조각별, 사전순, 다단계 랭킹 함수 유형을 단일 템플릿 프레임워크 아래에서 공식적으로 통합할 수 있는가?
• RQ3 랭킹 함수 합성에서 발생하는 비선형 제약 시스템은 일반적인 비선형 시스템보다 크게 더 쉽게 해결 가능한가?
• RQ4 지원 불변 집합의 수가 고정되어 있을 경우 메서드가 여전히 타당하고 완전한가?
• RQ5 결합형 선형 라소 프로그램의 종료 문제에 대해 결정 가능성이 있는가? 이를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 고정된 수의 지원 불변 집합과 랭킹 함수 템플릿(새로운 다단계 템플릿 포함)에 대해 메서드는 타당성과 완전성을 증명한다.
• 모츠킨의 전치 정리를 사용함으로써 이전 방법들이 정수 전용 변환을 필요로 하지 않아도 엄밀한 부등식을 처리할 수 있다.
• 생성된 비선형 제약는 일반적인 비선형 시스템보다 더 체계적이고 해결 가능성이 높은 형태임이 입증되어 실용적 적용에 타당성을 부여한다.
• 다단계 랭킹 함수 템플릿은 사전순 랭킹 함수와 상호 보완적인 새로운 대안으로 도입되었으며, 사전순 랭킹이 불가능한 프로그램에 적용 가능한 예시를 제시한다.
• 정수 라소 프로그램에 대해서는 정수 다각체를 확보하는 데 어려움이 있어 메서드는 완전하지 않으며, 향후 정수 전용 제약 처리가 필요하다는 점을 시사한다.
• 논문은 일반 선형 라소 프로그램의 종료 문제에 대해 결정 불가능성을 증명하여 문제의 이론적 경계를 설정한다.