[논문 리뷰] Ranks and Pseudo-Ranks - Paradoxical Results of Rank Tests -

Edgar Brunner, Frank Konietschke외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 15.

Multidisciplinary Science and Engineering Research참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 균형 잡히지 않은 설계에서 고전적 순위 기반 검정에서 샘플 크기 변화에도 불구하고 고정된 기초 분포 상황에서 검정 결정이 뒤바뀌는 역설적인 결과를 규명한다. 이 문제를 해결하기 위해 순위 대신 의사순위( pseudo-ranks )를 사용할 것을 제안하며, 의사순위는 비중앙성(non-centrality)을 안정적으로 유지하고, 요인설계 및 하위군 설계에서 비모수 효과에 대한 타당한 추론과 신뢰구간을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Rank-based inference methods are applied in various disciplines, typically when procedures relying on standard normal theory are not justifiable, for example when data are not symmetrically distributed, contain outliers, or responses are even measured on ordinal scales. Various specific rank-based methods have been developed for two and more samples, and also for general factorial designs (e.g., Kruskal-Wallis test, Jonckheere-Terpstra test). It is the aim of the present paper (1) to demonstrate that traditional rank-procedures for several samples or general factorial designs may lead to paradoxical results in case of unbalanced samples, (2) to explain why this is the case, and (3) to provide a way to overcome these disadvantages of traditional rankbased inference. Theoretical investigations show that the paradoxical results can be explained by carefully considering the non-centralities of the test statistics which may be non-zero for the traditional tests in unbalanced designs. These non-centralities may even become arbitrarily large for increasing sample sizes in the unbalanced case. A simple solution is the use of socalled pseudo-ranks instead of ranks. As a special case, we illustrate the effects in sub-group analyses which are often used when dealing with rare diseases.

연구 동기 및 목표

• 균형 잡히지 않은 설계에서 고전적 순위 검정이 표준 동분산 정규 모형 조건 하에서도 샘플 크기 변화에 비추어 검정 결정이 뒤바뀌는 등 역설적인 결과를 초래할 수 있음을 보여주기.
• 이러한 역설의 근본 원인이 균형 잡히지 않은 설계에서의 비균형 가중치로 인해 순위 기반 검정 통계량의 비중앙성이 비제로이자 증가하는 데 있음을 설명하기.
• 단조변환에 대해 불변성을 유지하고 고정된 모집단 효과 조건 하에서도 일관된 비중앙성을 보장하는 의사순위를 제안하여 문제 해결하기.
• 의사순위를 사용하여 비모수 효과 크기의 신뢰성 있는 추정을 가능하게 하고, 순위 검정이 주로 가설 검정에만 초점이 맞춰져 있다는 한계를 극복하기.

제안 방법

• 전통적 순위 대신 모든 그룹 간의 쌍별 순위를 가중평균으로 계산하여 얻는 의사순위를 도입함으로써, 비모수 효과에 대한 무가중치 추정을 보장함.
• 목표 파ameter로 비모수 상대효과 ψ를 사용하며, 이는 한 그룹의 임의로 선택된 관측치가 다른 그룹의 관측치를 초과할 확률로 정의되며, 의사순위는 이를 비편향 추정함.
• 순위, 의사순위, 평균 기반 통계량의 비중앙성 파ameter를 유도하고, 샘플 크기의 불균형 증가 조건 하에서의 행동을 비교함.
• 비중앙성이 불균형에 따라 증가하는 순위 기반 통계량과 달리, 의사순위 및 평균 기반 통계량은 귀무가설 하에서 항상 정확히 0으로 유지되어 안정성 확보됨.
• 통계량의 渐近적 다변량 정규분포를 적용하며, √N c_p^p 가 N 증가에 따라 증가함에 따라 순위 기반 절차에서 분포의 이동을 집중적으로 분석함.
• 실제 적용을 위해 R 패키지 rankFD에 의사순위 절차를 구현하며, 요인설계에서의 실용적 활용을 위해 무가중치 효과 옵션을 사용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균형 잡히지 않은 설계에서 고전적 순위 검정이 표준 정규 모형과 동분산 조건 하에서도 샘플 크기 변화에 따라 검정 결정이 뒤바뀌는 등 역설적인 결과를 낼 수 있는가?
• RQ2 비모수 순위 검정이 균형 잡히지 않은 설계에서 일관성 없는 행동을 보이는 이유는 무엇이며, 이러한 현상을 유도하는 통계적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 의사순위가 비균형 증가 조건 하에서도 비중앙성 파ameter를 안정화함으로써 순위 검정의 역설적 행동을 해결하는가?
• RQ4 의사순위를 사용하여 의미 있는 비모수 효과 크기의 신뢰구간을 신뢰성 있게 구성할 수 있는가? 이는 순위 검정이 주로 가설 검정에만 초점이 맞춰져 있다는 한계를 극복하는가?
• RQ5 의사순위가 하위군 분석에서 역설적인 결과를 피하는 데 있어 쌍별 또는 계층화된 순위보다 우월한가?

주요 결과

• 하나의 군에서 샘플 크기가 증가하고 하위군 크기는 고정된 2×2 요인설계에서, 순위 기반 검정의 비중앙성 파am터 √N c_p^p 는 N 이 100에서 2000으로 증가함에 따라 0에서 12.89로 증가함을 보여, 渐近적 분포의 점진적 이동을 시사함.
• 반면 의사순위 및 평균 기반 통계량의 비중앙성 파am터 c_ψ^p 와 c_μ^p 는 샘플 크기 불균형 여부에 관계없이 정확히 0으로 유지되어 안정된 추론 보장함.
• 역설적 행동은 비중앙성이 순위 기반 통계량에서 불균형한 샘플 크기로 인해 증가하는 비모수 상대효과의 가중치에 의존하기 때문에 발생함.
• 의사순위는 상대효과의 무가중치 추정을 통해 샘플 크기 불균형에 대한 의존성을 제거함으로써, 부당한 비중앙성 증가를 방지함.
• 의사순위의 사용은 비모수 효과에 대한 타당한 신뢰구간을 구성할 수 있도록 하여, 오랫동안 순위 검정이 효과 추정을 위해 설계되어 있지 않다는 오랜 한계를 해결함.
• 제안된 방법은 무가중치 효과 옵션을 활용하여 R 패키지 rankFD에 구현되어 있으며, 요인설계 및 하위군 설계에서의 실용적 적용 가능함.