[논문 리뷰] Ranks for families of all theories of given languages

N. D. Markhabatov, S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 28.

semigroups and automata theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 언어 위에서 완전한 일阶논리 이론의 가족에 대해 질량과 차수 체계를 도입하여, 모를리 랭크를 일반화하여 이러한 가족의 복잡도를 측정한다. 이는 언어에 0-항 및 1-항 술어와 상수만 유한 개가 있을 경우에만 랭크가 유한하고, 그 외의 경우에는 랭크가 무한하다는 것을 증명하며, 이는 완전히 순수한(_totally transcendental_) 가족을 특성화하고, 고정된 유한 또는 무한 기수의 모델을 가진 이론의 가족에 이 프레임워크를 적용한다.

ABSTRACT

For families of all theories of arbitrary given languages we describe ranks and degrees. In particular, we characterize (non-)totally transcendental families. We apply these characterizations for the families of all theories of given languages, with models of given finite or infinite cardinality.

연구 동기 및 목표

• 임의의 언어 위에서 이론 가족에 대해 모를리 랭크를 확장하여 랭크와 차수를 정의하고 특성화하는 것.
• 기저 언어의 구조에 기반하여 이러한 가족이 (비-)완전히 순수한지 조건을 결정하는 것.
• 유한 또는 무한 기수의 고정된 모델을 가진 이론의 가족에 랭크-차수 프레임워크를 적용하여 그 복잡도를 분석하는 것.
• 이론 가족의 랭크와 관련된 불리안 대수의 캄토어–벤딕스온 랭크 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 고-ranking 부분가족을 가진 무한히 많은 상호 모순 문장이 존재하는 것을 기반으로 한 초한계 계층을 통한 이론 가족에 대한 랭크 함수 RS(·)를 정의한다.
• 유일한 집적점과 근사 가족의 구조를 제어하기 위해 e-최소성 개념을 도입한다.
• 이론 가족과 관련된 초원자 불리안 대수의 캄토어–벤딕스온 랭크와 차수를 사용하여 RS(·)와 ds(·)를 특성화한다.
• 무한한 2-트리(무한히 많은 술어, 상수 또는 함수 기반의 독립적 진리 할당을 통한) 문장의 구조를 구성하여 특정 케이스에서 무한 랭크를 입증한다.
• 랭크 함수의 단조성 성질을 활용하여, 예를 들어 유한 또는 무한 모델을 가진 이론의 부분가족 간 랭크를 비교한다.
• 완전 이론의 위상공간에서 고립된 유형과 비고립된 유형에 관한 결과를 활용하여 랭크와 차수를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언어 Σ에 대해, Σ의 모든 완전 이론 TΣ의 가족이 유한 랭크를 가지는 즉, 완전히 순수한 성질을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 언어 Σ의 모든 완전 이론의 가족이 무한 랭크를 가지는 조건은 무엇이며, 이러한 현상의 원인인 Σ의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ3 모델의 기수가 고정된 유한 또는 무한인 이론의 가족에서의 랭크와 차수는 언어의 서명에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이론 가족의 RS-랭크와 관련된 불리안 대수의 캄토어–벤딕스온 랭크 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 무한히 많은 술어, 상수 또는 함수 기호를 포함하는 언어에서 무한한 2-트리의 문장들을 구성하여 무한 랭크를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 언어 Σ의 모든 완전 이론의 가족이 유한 랭크를 가지는 것은 Σ에 0-항 및 1-항 술어가 유한 개이고, 상수 기호도 유한 개일 때에만 성립한다.
• 만약 Σ에 2 이상의 항을 가진 술어가 존재하거나, 1 이상의 항을 가진 함수 기호가 존재하거나, 무한히 많은 술어, 상수 또는 함수 기호가 존재한다면, Σ의 모든 완전 이론의 가족은 무한 랭크를 가진다.
• 모든 언어 Σ에 대해, n개의 원소를 가진 모든 완전 이론의 가족은 Σ가 유한하거나, n=1이고 유한한 술어만 존재할 경우 랭크가 0이 되며, 그 외의 경우에는 랭크가 무한하다.
• 무한 모델을 가진 모든 완전 이론의 가족이 유한 랭크를 가지는 것은 Σ가 유한하고, 0-항 및 1-항 술어와 상수만 포함할 때에만 성립한다; 그 외의 경우 랭크는 무한하다.
• 이론 가족의 RS-랭크는 관련된 불리안 대수의 캄토어–벤딕스온 랭크와 일치하며, 차수는 파생 계층에서 최대 랭크를 가진 점의 수에 해당한다.
• 완전히 순수한 가족에서는 개별 이론의 랭크가 1-항 술어에 대한 모델의 무한 부분의 수에 의해 결정된다.