[논문 리뷰] Rastall's gravity equations and Mach's Principle

V. Majernı́k, Lukáš Richterek|ArXiv.org|2006. 10. 13.

Computational Physics and Python Applications참고 문헌 8인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 에너지-모멘텀 텐서의 발산이 0이 되는 조건을 완화하기 위해 자유 매개변수 α를 도입한 Rastall의 수정 중력 이론을 조사한다. Rastall의 방정식은 중력의 원천 항이 메트릭 또는 중력 포텐셜에 의존함으로써 마흐의 원리를 수용하며, 특히 α ≠ 1인 뉴턴 근사에서 질량 밀도가 포텐셜에 의존하게 되어 표준 일반 상대성 이론보다 더 '마흐의' 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Rastall generalized Einstein's field equations relaxing the Einstein's assumption that the covariant divergence of the energy-momentum tensor should vanish. His field equations contain a free parameter alpha and in an empty space, i.e. if T_{μν}=0, they reduce to the Einstein's equations of standard general relativity. We calculate the elements of the metric tensor given by Rastall' equations for different αassuming that T_{μν} to be that of a perfect fluid and analyse these model solutions from the point of view of Mach's principle. Since the source terms in Rastall's modified gravity equations include the common energy-momentum tensor T_{μν} as well as the expressions of the form (1-α)g_{μν}T/2, these source terms depend on metric determined by the mass and momentum distribution of the external space. Likewise, in the classical limit, the source term of the corresponding Poisson equation for α eq 1 depends on the gravitational potential in the sense of Mach's principle.

연구 동기 및 목표

• Rastall의 수정 중력 방정식이 마흐의 원리의 핵심 요구 조건 중 하나를 충족하는지 평가하는 것: 관성 질량이 외부 물질의 분포에 의존한다.
• 다양한 α 값에서 완전한 유체 시공간에 대한 Rastall의 방정식의 메트릭 텐서 해를 분석하는 것.
• Rastall 이론의 뉴턴 근사를 검토하고, 포아송 방정식의 원천 항이 중력 포텐셜에 의존하는지 여부를 판단하는 것. 이는 마흐의 물리학에서 요구되는 조건이다.
• 장방정식의 구조를 통해 일반 상대성 이론과 비교하여 Rastall 이론이 마흐의 원리와 얼마나 호환되는지 분석하는 것.

제안 방법

• 자유 매개변수 α를 가진 Rastall의 장방정식을 재구성하여 원천 항이 표준 에너지-모멘텀 텐서 $ T_{\mu\nu} $ 와 추가 항 $ \left(1-\alpha\right)g_{\mu\nu}T/2 $ 를 명시적으로 포함하도록 한다.
• 구형 대칭, 등방성 완전 유체 시공간에 대해 Rastall의 방정식을 풀어 α에 대한 함수로 메트릭 텐서 성분을 유도한다.
• 약한 중력장 조건을 가정하고 메트릭 앵사트 $ ds^2 = -(1+2\phi)dt^2 + (1-2\phi)(dx^2+dy^2+dz^2) $ 를 사용하여 Rastall의 방정식의 뉴턴 근사를 취한다.
• 수정된 포아송 방정식 $ \Delta\phi = 4\pi\varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $ 를 유도하여, α ≠ 1일 경우 질량 밀도 $ \varrho $ 가 중력 포텐셜 $ \phi $ 에 따라 효과적으로 변화함을 보여준다.
• 이 포텐셜 의존 원천 항의 의미를 분석하여, 특히 관성력이 원거리 질량 분포에 의해 영향을 받는다는 아이디어에 초점을 맞춘다.
• 유도된 장방정식을 일반 상대성 이론과 비교하고, α ≠ 1일 때 인과적으로 변하는 정지 질량의 물리적 해석을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Rastall의 수정 중력 이론은 중력 원천이 주변 시공간의 메트릭 또는 포텐셜에 의존한다는 마흐의 원리의 핵심 요건을 충족하는가?
• RQ2 α가 1에서 변할 때 Rastall의 장방정식 해가 일반 상대성 이론의 해와 어떻게 다를까?
• RQ3 뉴턴 근사에서 Rastall의 이론에서 유도된 포아송 방정식은 마흐의 물리학에서 요구하는 바와 같이 원천 항이 중력 포텐셜에 의존하는가?
• RQ4 약한 필드에서 표준 포아송 방정식을 복원하는 조건이 α의 값에 대해 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 원천 항이 시공간 기하학에 의존함으로써 Rastall의 이론이 일반 상대성 이론보다 더 '마흐의' 일반화로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• Rastall의 장방정식은 α의 값과 관계없이 진공에서 아인슈타인의 방정식으로 축소되며, 일반 상대성 이론의 모든 표준 검증을 유지한다.
• α ≠ 1일 경우 Rastall 이론의 뉴턴 근사에서 원천 항은 $ \varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $ 로 표현되며, 이는 질량 밀도가 중력 포텐셜 $ \phi $ 에 따라 변한다는 것을 나타내며, 마흐의 행동 양식의 상징적 특징이다.
• 수정된 포아송 방정식 $ \Delta\phi = 4\pi\varrho[1 + \frac{1-\alpha}{2\alpha}(1+2\phi)] $ 는 원천 항이 포텐셜에 의존함을 명시적으로 보여주며, 이는 관성이 전반적인 질량 분포에 의해 영향을 받음을 암시한다.
• 약한장 영역에서 표준 포아송 방정식을 복원하기 위해서는 매개변수 α가 1에 매우 가까워야 하지만, 조건이 강한 영역(예: 항성 내부)에서는 α가 1에서의 작은 이격이라도 상당한 영향을 미칠 수 있다.
• Rastall 이론은 메트릭을 통해 시공간 좌표에 따라 효과적인 원천 항이 변하는 방식으로 가변 정지 질량을 도입하며, 이는 원거리 물질이 관성에 영향을 미친다는 마흐의 아이디어와 일치한다.
• Rastall의 방정식은 원천 항이 $ T_{\mu\nu} $ 와 $ g_{\mu\nu}T $ 둘 다에 의존하는 구조를 지녀, 일반 상대성 이론에서 에너지-모멘텀 텐서가 기하학과 독립적으로 수렴되는 것보다 마흐의 원리와 더 잘 호환된다.