[논문 리뷰] Rate distortion theory, metric mean dimension and measure theoretic entropy

Aníbal Velozo, Renato Velozo|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 측도론적 엔트로피 유사 함수 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 를 사용하여 거리 평균 차원에 대한 변분 원리를 수립한다. 이는 비용 함수에 대한 더 직관적인 대안을 제공한다. 주요 결과는 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T(\mathcal{X})}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ 를 보여주며, 표준 변분 원리를 복원하고 [LT]의 결과들을 더 명확한 계산 프레임워크로 재증명한다.

ABSTRACT

We prove a variational principle for the metric mean dimension analog to the one in [LT]. Instead of using the rate distortion function we use the function $h_μ(ε,T,δ)$ that is closely related to the entropy $h_μ(T)$ of $μ$. Our formulation has the advantage of being, in the authors opinion, more natural when doing computations. As a corollary we obtain a proof of the standard variational principle. We also obtain some relations between the rate distortion function with our function $ ilde{h}_μ(ε,T,δ)$, a modification of $h_μ(ε,T,δ)$ when replacing the dynamical metrics with the average dynamical metrics. Using our methods we also reprove the main result in [LT]. We will explain how to construct homeomorphisms on closed manifolds with maximal metric mean dimension. We end this paper with some questions that naturally arise from this work.

연구 동기 및 목표

• 거리 평균 차원 변분 원리의 더 계산에 유용한 형태를 개발하기 위해.
• 비용 함수를 캐토크의 엔트로피 공식에서 유도된 함수 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 로 대체하기 위해.
• 이 새로운 프레임워크를 사용하여 [LT]의 주요 결과를 재증명하기 위해.
• 폐쇄 다양체 위의 호메오모르피즘이 최대 거리 평균 차원을 달성할 수 있는 조건을 설정하기 위해.
• $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $, 비용 함수 $ R_{\mu}(\epsilon) $, 그리고 평균 역동적 공의 변형 간의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 정의: $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) = \limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log N_{\mu}(n,\epsilon,\delta) $, 여기서 $ N_{\mu}(n,\epsilon,\delta) $ 는 측도가 $ >1-\delta $ 인 집합을 덮는 최소의 $ (n,\epsilon) $-역동적 공의 수이다.
• 에르고딕 측도 $ \mu $ 에 대해 점점 가까워지는 근사적 등가성 $ h_{\mu}(T) = \lim_{\epsilon\to 0} h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 를 사용하여 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 를 측도론적 엔트로피와 연결한다.
• 변분 원리 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ 를 증명하며, 이는 표준 변분 원리를 일반화한다.
• 평균 역동적 공을 사용하는 변형인 $ \widetilde{h}_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 를 도입하여 비용 함수 $ R_{\mu}(\epsilon) $ 와의 관계를 설정한다.
• 폐쇄 다각형에서의 변형 기법을 사용하여 상한 거리 평균 차원이 임의로 큰 호메오모르피즘을 구성한다.
• 닫힘 보조정리와 국소적 변형을 적용하여 고정점이 있는 호메오모르피즘 공간에서 전반적인 거리 평균 차원을 갖는 호메오모르피즘의 집합이 조밀함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 함수 대신 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 를 사용하여 거리 평균 차원에 대한 변분 원리를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 는 비용 함수 $ R_{\mu}(\epsilon) $ 와 평균 역동적 공 변형 $ \widetilde{h}_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 폐쇄 다각형 위의 호메오모르피즘이 최대 거리 평균 차원을 달성할 수 있는가?
• RQ4 측도론적 구성 요소로 $ \overline{mdim}_{\mu}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ 를 사용할 때 변분 원리가 성립하는가?
• RQ5 최대 거리 평균 차원을 달성하는 측도 $ \mu $ 가 존재하는가, 즉 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \overline{mdim}_{\mu}(\mathcal{X},d,T) $ 인가?

주요 결과

• 거리 평균 차원에 대한 변분 원리가 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T(\mathcal{X})}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ 로 수립되었으며, 더 직관적인 계산 프레임워크를 제공한다.
• 주요 결과의 따름정리로서 표준 변분 원리가 복원된다.
• 곱 metric $ d_T $ 를 갖는 $ ([0,1]^n)^{\mathbb{Z}} $ 위의 시프트의 거리 평균 차원은 정확히 $ n $ 으로 계산된다.
• 에르고딕 측도 $ \mu $ 에 대해 $ h_{\mu}(T) = \lim_{\epsilon\to 0} R_{\mu}(\epsilon) = \widetilde{h}_{\mu}(T,\delta) $ 가 성립함을 보여, 새로운 함수가 비용 함수와 연결됨을 입증한다.
• 폐쇄 다각형 위의 호메오모르피즘 중 전반적인 거리 평균 차원 $ \dim(\mathcal{X}) $ 를 갖는 집합은 고정점이 있는 호메오모르피즘 공간에서 조밀하다.
• 다양한 호환 가능한 metric을 사용할 때 $ Y^{\mathbb{Z}} $ 에서의 값이 달라짐으로써 거리 평균 차원이 metric 선택에 따라 달라짐을 보였다.