[논문 리뷰] Rate-Induced Tipping in Heterogeneous Reaction-Diffusion Systems: An Invariant Manifold Framework and Geographically Shifting Ecosystems

Cris R. Hasan, Ruaidhrí Mac Cárthaigh외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 23.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 64인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비자기적, 이질적인 반응-확산 시스템에서 비율 유도 전환(R-tipping)과 분기 유도 전환(B-tipping)을 분석하기 위해 압축된 이동 기준축 미분방정식과 Lin의 방법을 사용하는 불변 다양체 프레임워크를 개발한다. 기후 변화나 인위적 이주에 의해 이동하는 생태계에서 알레 효과가 있는 상황에서 생존 가능성을 결정짓는 임계 서식지 크기 및 이동 속도 임계값을 규명하며, 이는 동질적 서식지에서 침입 속도와 연관된다.

ABSTRACT

We propose a framework to study tipping points in reaction-diffusion equations (RDEs) in one spatial dimension, where the reaction term decays in space (asymptotically homogeneous) and varies linearly with time (nonautonomous) due to an external input. A compactification of the moving-frame coordinate together with Lin's method to construct heteroclinic orbits along intersections of stable and unstable invariant manifolds allows us to (i) obtain multiple coexisting pulse and front solutions for the RDE by computing heteroclinic orbits connecting equilibria at negative and positive infinity in the compactified moving-frame ordinary differential equation, (ii) detect tipping points as dangerous bifurcations of such heteroclinic orbits, and (iii) obtain tipping diagrams by numerical continuation of such bifurcations. We apply our framework to an illustrative model of a habitat patch that features an Allee effect in population growth and is geographically shrinking or shifting due to human activity or climate change. Thus, we identify two classes of tipping points to extinction: bifurcation-induced tipping (B-tipping) when the shrinking habitat falls below some critical length and rate-induced tipping (R-tipping) when the shifting habitat exceeds some critical speed. We explore two-parameter R-tipping diagrams to understand how the critical speed depends on the size of the habitat patch and the dispersal rate of the population, uncover parameter regions where the shifting population survives, and relate these regions to the invasion speed in an infinite homogeneous habitat. Furthermore, we contrast the tipping instabilities with gradual transitions to extinction found for logistic population growth without the Allee effect.

연구 동기 및 목표

• 비자기적, 공간적으로 확장된 시스템에서 이질적이고 감쇠하는 반응 항을 갖는 시스템의 전환점 탐지에 수학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 서식지 감소로 인한 분기 유도 전환(B-tipping)과 서식지 이동 속도로 인한 비율 유도 전환(R-tipping)을 구분하기 위해.
• 기후 변화나 인위적 서식지 이동에 의해 영향을 받는 알레 효과가 있는 인구 모델에 프레임워크를 적용하기 위해.
• 동질적 서식지에서의 침입 속도와 연관된 임계 전환 임계값을 통해 생존 조건을 규명하기 위해.
• 서식지 크기와 산산분포율을 기반으로 한 생존 영역을 보여주는 이중 매개변수 R-tipping 다이어그램을 구성하기 위해.

제안 방법

• 비자기적 반응-확산 방정식(RDE)을 좌표 이동을 통해 이동 기준축 미분방정식으로 변환하여 이중 점점 수렴하는 자율계를 얻는다.
• 이동 기준축 미분방정식에 압축을 적용하여, 비무한점에서의 안정성 분석이 가능한 압축된 위상공간 상의 자율계로 변환한다.
• Lin의 방법을 사용하여 압축된 시스템에서 ±∞에서의 안정다원 평형점 사이를 연결하는 이질성 궤도를 수치적으로 구축한다. 이는 펄스 및 프론트 솔루션을 나타낸다.
• 이러한 이질성 궤도의 분기로 전환점을 감지하며, 시스템 행동의 임계 전환을 식별한다.
• 분기의 수치적 연속을 수행하여 서식지 크기와 산산분포율을 기반으로 한 이중 매개변수 R-tipping 다이어그램을 생성한다.
• 동질적 서식지에서의 침입 속도 이론과 결과를 비교하여 지속 가능한 인구 이동의 상한선을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알레 효과가 있는 지리적으로 이동하거나 축소되는 서식지에서 인구 멸종의 임계 조건은 무엇인가?
• RQ2 서식지 크기 감소로 인한 B-tipping과 서식지 이동 속도로 인한 R-tipping은 그 메커니즘과 임계값에서 어떻게 다를까?
• RQ3 R-tipping의 임계 속도와 동질적 서식지에서의 침입 속도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 산산분포율과 서식지 크기가 함께 작용하여 이동 생태계에서 생존 또는 멸종을 어떻게 결정짓는가?
• RQ5 어떤 매개변수 영역에서 인구는 서식지 이동에도 불구하고 지속되며, 이러한 영역은 이질성 궤도의 안정성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• B-tipping은 서식지 길이가 임계 이하로 감소할 때 발생하며, 이는 이동 속도와 무관하게 안정 평형점의 상실로 인해 멸종으로 이어진다.
• R-tipping은 서식지 이동 속도가 임계 값을 초과할 때 발생하며, 이는 냉각된 시스템에서의 안정성에도 불구하고 인구가 이동 기반 상태를 따라가지 못함으로써 발생한다.
• R-tipping의 임계 속도는 동질적 서식지에서의 침입 속도 $ c_{\text{inv}} = 2\beta\beta D $ 에 의해 상한선으로 제한되며, 이 속도 이하일 때만 생존이 가능하다.
• 이중 매개변수 R-tipping 다이어그램은 서식지 크기와 산산분포율의 매개변수 공간에서 명확한 생존 영역을 드러내며, 생존은 이동 속도가 침입 속도 이하일 때만 가능하다.
• 알레 모델의 경우, 멸종 평형점과 수용력 평형점 사이를 연결하는 이질성 궤도는 임계 침입 속도 $ c = c_{\text{inv}} $ 에서만 존재하며, 이는 지속 가능한 펄스 전파의 상한선을 나타낸다.
• 알레 효과가 없는 로지스틱 성장과는 달리, 알레 모델은 안정다원 분기와 생존 임계값이 존재하므로 급격한 전환을 보이며, 점진적 감소가 아닌 제도 전환을 초래한다.