[논문 리뷰] Rate of convergence to equilibrium of fractional driven stochastic differential equations with rough multiplicative noise

Aurélien Deya, Fabien Panloup외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H \in (1/3, 1/2) $를 가진 거친 분수 Brown 운동과 곱셈형 노이즈에 의해 구동되는 분수 스토케스 미분 방정식에 대해 평형 상태로의 수렴 속도를 규명한다. 거친 경로 이론과 리아푸노프 함수 기법을 활용하여, 수렴 속도가 $ t^{-\alpha} $ 순서임을 증명하며, 이는 덧셈형 경우와 일치한다. 또한 이전 연구에서 요구되었던 노이즈 계수 $ \sigma $ 의 기울기 가정을 제거함으로써 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We investigate the problem of the rate of convergence to equilibrium for ergodic stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\\in (1/3,1)$ and multiplicative noise component $\\sigma$. When $\\sigma$ is constant and for every $H\\in (0,1)$, it was proved in [19] that, under some mean-reverting assumptions, such a process converges to its equilibrium at a rate of order $t^{-\\alpha}$ where $\\alpha \\in (0,1)$ (depending on $H$). In [11], this result has been extended to the multiplicative case when $H\ extgreater{}1/2$. In this paper, we obtain these types of results in the rough setting $H\\in (1/3,1/2)$. Once again, we retrieve the rate orders of the additive setting. Our methods also extend the multiplicative results of [11] by deleting the gradient assumption on the noise coefficient $\\sigma$. The main theorems include some existence and uniqueness results for the invariant distribution.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동에 의해 구동되며 $ H \in (1/3, 1/2) $ 이고 곱셈형 노이즈를 갖는 확률 미분 방정식의 평형 상태로의 수렴 속도를 규명하는 것.
• 이전 연구에서 $ H > 1/2 $ 영역에 국한되어 있던 곱셈형 노이즈 설정에서의 수렴 속도 결과를 확장하는 것.
• 이전 연구에서 요구되었던 노이즈 계수 $ \sigma $ 의 기울기 가정을 제거하는 것.
• 평균 회귀 성향이 있는 드리프트 조건을 만족할 경우 SDE에 대한 불변 분포의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 거친 경우 $ H \in (1/3, 1/2) $ 에서의 수렴 속도가 덧셈형 경우에서 관찰된 순서와 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 분수 Brown 운동에 대한 적분을 처리하기 위해 $ H \in (1/3, 1/2) $ 인 경우 Young 적분이 부족하므로 거친 경로 이론을 활용한다.
• 프로세스가 컴act 집합으로 복귀하는 시간을 제어하기 위해 리아푸노프 함수 기법을 적용하여 에르고딕성을 보장한다.
• 노이즈의 비퇴화성과 평균 회귀 성향 드리프트 조건 $ \langle v, b(v) \rangle \leq C_1 - C_2 \|v\|^2 $ 에 기반한 커플링 접근법을 적용한다.
• 시간 간격에 대한 재귀적 분할 알고리즘을 사용하여 거친 경로의 증분 $ G^{[s,t]}_{st} $ 를 추정하며, 반복 적분의 $ \mathcal{C}_{3;\lambda}^{\alpha,\mu} $-노름을 활용한다.
• 경로의 전체 변동 거리에 대한 법칙과 불변 측도 사이의 거리에 대한 경계를 $ \mathcal{N}[\delta G; \mathcal{C}_{3;\lambda}^{\alpha,\mu}] $ 준노름을 통해 확립한다.
• 노이즈 성분의 경로적 변동성 추정과 모멘트 경계를 결합하여 $ t^{-\alpha} $ 감쇠 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Brown 운동에 의해 구동되며 $ H \in (1/3, 1/2) $ 이고 곱셈형 노이즈를 갖는 SDE에 대해 평형 상태로의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 거친 경로 영역에서의 수렴 속도가 덧셈형 경우에서 관찰된 $ t^{-\alpha} $ 순서와 일치함을 보일 수 있는가?
• RQ3 노이즈 계수 $ \sigma $ 에 대한 기울기 가정을 제거하면서도 여전히 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ4 리아푸노프 함수와 거친 경로 이론이 마르코프 성질이 없는 상황에서 에르고딕성과 수렴을 보장하는 데 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 드리프트 $ b $ 와 노이즈 $ \sigma $ 에 어떤 조건이 요구되어야 이 거친 SDE 프레임워크에서 불변 측도의 존재성과 유일성이 보장되는가?

주요 결과

• 수렴 속도는 $ H \in (1/3, 1/2) $ 에서 $ t^{-\alpha} $ 순서이며, 이는 덧셈형 경우에서 관찰된 속도와 일치한다.
• 수렴 속도는 드리프트의 평균 회귀 조건이 성립하는 한, $ \sigma $ 의 구체적 형태와 무관하다.
• 이전 연구에서 $ H > 1/2 $ 인 경우에 요구되었던 $ \sigma $ 의 기울기 가정을 제거함으로써 곱셈형 노이즈 결과를 일반화하였다.
• 평균 회귀 드리프트 조건 $ \langle v, b(v) \rangle \leq C_1 - C_2 \|v\|^2 $ 하에서 불변 분포의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 시간 $ t $ 에서 프로세스의 법칙과 불변 측도 사이의 전체 변동 거리가 $ t^{-\alpha} $ 로 감쇠되며, $ \alpha \in (0,1) $ 이다. 이는 $ H $ 에 따라 달라진다.
• 분석은 거친 경로 이론의 새로운 응용과 반복적 분할 알고리즘을 통해 반복 적분 $ G^{[s,t]}_{st} $ 의 변동성을 제어하는 데 의존한다.