[논문 리뷰] Rates of convergence for a class of generalized quasi contractive mappings in Kohlenbach hyperbolic spaces

Zahid Akhtar, Muhammad Aqeel Ahmad Khan|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 27.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 코헬렌바흐 하이퍼볼릭 공간에서 일반화된 준수축성 사상에 대해 피카르, 만, 이시카와, 슈-누어 반복 알고리즘을 사용하여 수렴 속도를 확립한다. 특정한 매개변수 조건 하에서 피카르 반복이 수정된 만 형식 알고리즘보다 더 빠르게 수렴함을 증명하며, 선형 설정을 초월하여 비양의 곡률을 가진 거리 공간으로 수렴 분석을 확장한다.

ABSTRACT

This paper is a continuation to the study of generalized quasi contractive operators, essentially due to Akhtar et al. [A multi-step implicit iterative process for common fixed points of generalized C^{q}-operators in convex metric spaces, Sci. Int., 25(4) (2013), 887-891], in spaces of nonpositive sectional curvature. We aim to establish results concerning convergence characteristics of the classical iterative algorithms such as Picard, Mann, Ishikawa and Xu-Noor iterative algorithms associated with the proposed class of generalized quasi contractive operators. Moreover, we adopt the concept introduced by Berinde [Comparing Krasnosel'skii and Mann iterative methods for Lipschitzian generalized pseudo-contractions, Int. Conference on Fixed Point Theory Appl., 15-26, Yokohama Publ., Yokohama, 2004.] for a comparison of the corresponding rates of convergence of these iterative algorithms in such setting of spaces. The results presented in this paper improve and extend some recent corresponding results in the literature.

연구 동기 및 목표

• 코헬렌바흐 하이퍼볼릭 공간에서 일반화된 준수축성 사상에 대해 고전적인 반복 알고리즘—피카르, 만, 이시카와, 슈-누어—의 수렴 특성을 분석한다.
• 베린데의 비교 프레임워크를 사용하여 이러한 반복 알고리즘 간의 수렴 속도를 비교한다.
• 기존의 선형 공간에서의 수렴 결과를 더 일반적인 비양의 곡률을 가진 하이퍼볼릭 공간의 설정으로 확장한다.
• 일반화된 준수축성 연산자의 고정점으로 수렴하기 위한 제어 매개변수에 대한 충분조건을 설정한다.

제안 방법

• 연구는 비선형 분석에 적합한 볼록 구조를 지닌 거리 공간을 일반화한 코헬렌바흐 하이퍼볼릭 공간을 기하적 프레임워크로 사용한다.
• 일반화된 준수축성 사상은 다섯 개의 거리 항의 최댓값을 포함하는 수축 조건을 만족하며, 상수 λ ∈ [0,1)을 갖는다.
• 수렴 분석은 볼록 사상 W와 수축 성질에서 유도된 재귀 부등식을 사용하여 고정점으로부터의 거리의 경계를 설정한다.
• 속도 비교는 수열 aₙ = ∏[1 − αₖ(1−λ)²] 과 bₙ = ∏[1 − αₖ(1−3λ)(1 + 9λ²βₖγₖ + 3λβₖ)]의 추정에 기반하며, aₙ/bₙ → 0 임을 보인다.
• 수렴과 속도 비교를 보장하기 위해 수열 {αₙ}, {βₙ}, {γₙ} 에 제어 조건 (C1)과 (C2)를 도입한다.
• 삼각 부등식과 볼록성 성질을 이용한 이론적 경계를 도출하여, d(xₙ₊₁, p) 를 d(xₙ, p) 로 표현하는 재귀적 추정에 도달한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코헬렌바흐 하이퍼볼릭 공간에서 일반화된 준수축성 사상에 대해 피카르 반복 알고리즘이 수정된 만 형식 알고리즘보다 더 빠르게 수렴하는가?
• RQ2 반복 방법이 고정점으로 수렴하기 위한 제어 수열 {αₙ}, {βₙ}, {γₙ} 에 대한 충분조건는 무엇인가?
• RQ3 이 설정에서 만, 이시카와, 슈-누어 알고리즘의 수렴 속도는 고전적인 피카르 반복과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 비양의 곡률을 가진 공간에서 베린데의 프레임워크를 엄밀하게 사용하여 수렴 속도 비교를 확립할 수 있는가?
• RQ5 기존의 선형 공간에서의 고정점 수렴 결과가 코헬렌바흐 하이퍼볼릭 공간으로 얼마나 넓게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 코헬렌바흐 하이퍼볼릭 공간에서 일반화된 준수축성 사상에 대해 피카르 반복 알고리즘이 수정된 만 형식 알고리즘보다 더 빠르게 수렴한다.
• λ ∈ [0, 1/3] 인 경우, 피카르 방법의 수렴 속도는 ∏[1 − αₖ(1−λ)²] 로 감소하지만, 만 형식 방법은 1로 유지되어 더 빠른 수렴을 의미한다.
• λ ∈ (1/3, 1) 인 경우, 비율 aₙ/bₙ → 0 이므로 피카르 반복이 여전히 수정된 만 방법보다 더 빠르게 수렴함을 보여준다.
• 제어 조건 (C1)과 (C2) 하에서 모든 반복 수열이 고정점으로 수렴함이 보장되며, 이는 수열 {αₙ}, {βₙ}, {γₙ} 이 [0,1] 에 있고 합성가능 조건을 만족함을 의미한다.
• 기존의 선형 공간에서의 결과를 더 넓은 비양의 곡률을 가진 하이퍼볼릭 공간의 클래스로 일반화하여 비선형 문제에 대한 적용 가능성을 높였다.
• 분석은 수렴 속도가 매개변수 λ와 제어 수열의 선택에 의해 결정되며, 더 작은 λ 에서는 더 날카로운 경계를 확보할 수 있음을 확인한다.