[논문 리뷰] Rational approximation of the absolute value function from measurements: a numerical study of recent methods

Ion Victor Gosea, Athanasios C. Antoulas|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 06.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 [-1,1] 구간에서 절댓값 함수 |x|에 대한 데이터 기반 유리 근사 방법—Loewner 프레임워크, AAA 알고리즘, 최소최대 방법—을 종합적으로 수치적으로 비교한다. 최대 오차를 1e-7 이하로 줄이는 반복적 Loewner 절차를 제안하여 이론적 최적 근사 오차(3.05e-9)에 가까워지며, 기존의 함수 해석식에 접근할 수 없는 측정값만을 사용함에도 불구하고 뛰어난 수렴성과 적응성을 입증한다.

ABSTRACT

In this work, we propose an extensive numerical study on approximating the absolute value function. The methods presented in this paper compute approximants in the form of rational functions and have been proposed relatively recently, e.g., the Loewner framework and the AAA algorithm. Moreover, these methods are based on data, i.e., measurements of the original function (hence data-driven nature). We compare numerical results for these two methods with those of a recently-proposed best rational approximation method (the minimax algorithm) and with various classical bounds from the previous century. Finally, we propose an iterative extension of the Loewner framework that can be used to increase the approximation quality of the rational approximant.

연구 동기 및 목표

• 절댓값 함수 |x|에 대한 최근 데이터 기반 유리 근사 방법을 평가하고 비교하는 것.
• 클래식한 기준과 최소최대 방법에 비해 Loewner 프레임워크와 AAA 알고리즘의 성능을 평가하는 것.
• 근사 정확도를 향상시키기 위해 Loewner 프레임워크의 반복적 확장 방법을 개발하고 검증하는 것.
• 함수의 닫힌 형태 표현에 접근할 수 없는 상황에서 오직 측정값만을 사용하여 최대 근사 오차를 정량화하는 것.
• 이 방법이 |x|를 초월하여 모델 차수 축소와 같은 응용 분야에서의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• Loewner 프레임워크는 Cauchy 유사 보간 기반의 데이터 기반 보간 접근 방식을 사용하여 샘플링된 데이터 포인트에서 유리 근사식을 구성한다.
• AAA 알고리즘은 주어진 구간에서 최대 오차를 최소화하도록 반복적으로 보간 포인트를 선택하여 유리 근사식을 계산한다.
• 최소최대 알고리즘은 균일 오차를 최소화하기 위해 비선형 최적화 문제를 푸는 방식으로 최적의 유리 근사식을 계산한다.
• 반복적 Loewner 절차는 최대 오차가 발생하는 위치(양수 및 음수 x 모두)에 새로운 측정 포인트를 적응적으로 추가하여 근사식을 정밀화한다.
• 각 반복 단계에서 최대 오차는 [-1,1]에서 | |x| - R(x) |의 Supremum으로 계산되며, 수렴 여부는 ξ = 1e-7의 허용 오차 기준으로 모니터링된다.
• 이 방법은 데이터를 왼쪽 및 오른쪽 구간으로 분할하는 방식을 사용하며, '동일한' 분할 모드에서는 동일한 데이터 세트를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 샘플링된 데이터만 제공될 경우, Loewner 프레임워크와 AAA 알고리즘이 |x|를 얼마나 잘 근사하는가?
• RQ2 표준 Loewner 방법에 비해 반복적 Loewner 절차가 최대 근사 오차를 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ3 데이터 기반 유리 근사식은 |x|에 대한 이론적 최적 근사 오차에 얼마나 가까이 갈 수 있는가?
• RQ4 데이터 샘플링 전략과 데이터 분할 방식은 최종 근사 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 반복적 Loewner 방법은 시스템 및 제어 응용 분야에서 비연속적이거나 비유리 함수에 대해 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 반복적 Loewner 절차는 최초 오차 1.1240e-04에서 11회 반복 후 9.4873e-08로 감소시켜 허용 오차 ξ = 1e-07 이하로 낮췄다.
• 최종 반복적 Loewner 근사식의 차수는 (47,48)로, 최대 오차는 9.4873e-08을 기록하여 최소최대 오차 3.0517e-09에 근접하였다.
• 최소최대 방법은 최고의 근사 오차 3.0517e-09를 생성하였으며, Stahl의 이론적 한계값 2.8211e-09에 매우 가까웠다.
• Loewner 행렬의 특이값은 급격히 감소하여 수치적 안정성과 낮은 랭크 근사 가능성의 잠재력을 시사하였다.
• 반복 정밀화 전략은 특히 x = 0 근처와 [-1,1] 내 대칭점에서 높은 오차 지역을 효과적으로 타겟팅하였다.
• AAA 알고리즘과 표준 Loewner 프레임워크는 뛰어난 성능를 보였지만, 반복적 Loewner는 오차 감소 측면에서 뚜렷이 뛰어났다.