[논문 리뷰] Rational approximation of $x^n$

Yuji Nakatsukasa, Lloyd N. Trefethen|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 03.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $[0,1]$에서 $x^n$의 유리 근사에서 형식-$(k,k)$ 유리 함수를 사용할 경우, $k$에 대해 지수적 수렴이 이루어지며, 최소최대 오차가 점점 $2H^{k+1/2}$에 수렴함을 보여준다. 여기서 $H \approx 1/9.28903$는 할레펜 상수이며, $n$에 대해 매우 독립적이다. 이 결과는 구간 $[0,1]$를 모비우스 변환을 통해 $(-\infty,0]$로 변환함으로써 도출되며, 이는 $e^x$의 $(-\infty,0]$에서의 잘 알려진 유리 근사 문제와 연결된다. 이 경우 동일한 오차 공식이 알려져 있다.

ABSTRACT

Let $E_{kk}^{(n)}$ denote the minimax (i.e., best supremum norm) error in approximation of $x^n$ on $[\kern .3pt 0,1]$ by rational functions of type $(k,k)$ with $k

연구 동기 및 목표

• 형식-$(k,k)$ 유리 함수를 사용한 $[0,1]$에서 $x^n$의 최소최대 오차를 분석한다.
• 큰 $n$에 대해 $k$에 대해 지수적으로 감소하는 오차를 보여주며, 이는 $n$에 독립적임을 입증한다.
• $[0,1]$에서 $x^n$의 근사 문제를 모비우스 변환을 통해 $(-\infty,0]$에서 $e^x$를 근사하는 고전 문제와 연결한다.
• 점근적 오차 속도가 할레펜 상수 $H \approx 1/9.28903$에 의해 결정됨을 보여주며, 이는 $e^x$ 근사에서 잘 알려진 바이다.
• 짝수 $n$에 대해 결과를 $[-1,1]$로 확장하여, $\lfloor k/2 \rfloor$에 대한 수정된 의존성 구조를 보인다.

제안 방법

• $[0,1]$를 $(-\infty,0]$로 매핑하는 모비우스 변환을 적용하여, $x^n$을 $(1 - s/n)^{-n}$으로 변환한다.
• 형식-$(k,k)$ 유리 근사가 모비우스 변환에 대해 불변임을 이용하여 최소최대 오차를 유지함을 보장한다.
• $(1 - s/n)^{-n}$이 $(-\infty,0]$에서 $e^s$로 균일 수렴하며, 오차가 $1/(en)$ 이내로 제한됨을 증명한다.
• $(-\infty,0]$에서 $e^s$의 최소최대 유리 근사에 대해 알려진 점근적 오차 공식 $F_{kk} \sim 2H^{k+1/2}$를 활용한다. 여기서 $H$는 할레펜 상수이다.
• $n \to \infty$의 극한을 취함으로써 $(1 - s/n)^{-n}$ 근사의 오차가 $e^s$ 근사의 오차와 동일시됨을 도출하여, $E_{kk}^{(n)}$을 $e^x$ 문제와 연결한다.
• 짝수 $n$에 대해 $[-1,1]$로 결과를 확장하기 위해 $s = x^2$로 치환하여 문제를 $[0,1]$에서 형식-$(k/2,k/2)$ 근사로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $k \to \infty$일 때 큰 $n$에 대해 형식-$(k,k)$ 유리 근사에서 $x^n$의 최소최대 오차 $E_{kk}^{(n)}$의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 $k, n \to \infty$일 때 오차 $E_{kk}^{(n)}$이 왜 $n$에 독립적이게 되는가?
• RQ3 $[0,1]$에서 $x^n$의 유리 근사는 고전적인 $(-\infty,0]$에서 $e^x$ 근사 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 할레펜 상수 $H \approx 1/9.28903$는 $x^n$에 대한 유리 근사의 수렴 속도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 정의역이 $[-1,1]$이고 $n$이 짝수일 경우 수렴 속도는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 형식-$(k,k)$ 유리 근사에서 $[0,1]$에서 $x^n$의 최소최대 오차 $E_{kk}^{(n)}$는 $\lim_{k \to \infty} \lim_{n \to \infty} E_{kk}^{(n)} / (2H^{k+1/2}) = 1$을 만족하며, 여기서 $H \approx 1/9.28903$는 할레펜 상수이다.
• 수렴 속도는 $k$에 대해 지수적이며, $e^x$의 $(-\infty,0]$에서의 유리 근사와 동일한 점근적 공식을 가진다. 이는 함수가 다르지만 동일한 수렴 속도를 가짐을 의미한다.
• $k, n \to \infty$의 이중 극한에서 오차가 $n$에 독립적이므로, 큰 $n$에 대해 유리 함수의 근사 능력이 매우 강건함을 시사한다.
• 짝수 $n$에 대해 $[-1,1]$에서의 오차는 $\lim_{k \to \infty} \lim_{\substack{n \to \infty \\ n \text{ 짝수}}} E_{kk}^{(n)} / (2H^{\lfloor k/2 \rfloor + 1/2}) = 1$을 만족하며, 이는 효과적인 차수의 절반으로 줄어듦을 반영한다.
• $x = n/(n - s)$의 변환은 $[0,1]$를 $(-\infty,0]$로 매핑하며, 이로 인해 $x^n$이 $(1 - s/n)^{-n}$으로 변환되며, 이는 오차 $\leq 1/(en)$로 $e^s$로 수렴한다.
• 수치적 증거는 $E_{kk}^{(n)} \approx 2H^{k+1/2}$임을 지지하며, 이는 다항근사보다 훨씬 빠른 수렴 속도를 보이며, 고정밀도를 얻기 위해 다항근사는 $k \sim \sqrt{n}$이 필요로 한다.