[논문 리뷰] Rational approximations for values of the digamma function and a denominators conjecture

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 05.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초함수 합과 선형 재귀를 사용하여 $\text{ln}(b) - \psi(a+1)$에 대한 명시적인 유리 근사식을 구성한다. 이는 에이프타카레프의 오일러 상수에 대한 작업을 일반화한 것으로, 분자와 분모에 대한 정확한 공식을 제공하고, $e^{-2\sqrt{2bn}}$ 순서의 점점 감소하는 오차 한계를 증명하며, Rivoal의 $\gamma + \text{ln}(b)$에 대한 분모 추측과 동시에 근사된 $\u03b3$ 및 $\zeta(2) - \u03b3^2$에 대한 공통 분모 추측을 확인한다. 이 방법은 $\pi/2 \pm \gamma$에 대한 유사한 정밀도의 근사식을 제공한다.

ABSTRACT

In 2007, A.I.Aptekarev and his collaborators discovered a sequence of rational approximations to Euler's constant $γ$ defined by a linear recurrence. In this paper, we generalize this result and present an explicit construction of rational approximations for the numbers $\ln(b)-ψ(a+1),$ $a, b\in {\mathbb Q},$ $b>0, a>-1,$ where $ψ$ defines the logarithmic derivative of the Euler gamma function. We prove exact formulas for denominators and numerators of the approximations in terms of hypergeometric sums. As a consequence, we get rational approximations for the numbers $π/2\pmγ.$ We compare the results obtained with those of T. Rivoal for the numbers $γ+\ln(b)$ and prove denominators conjectures proposed by Rivoal for denominators of rational approximations for $γ+\ln(b)$ and common denominators of simultaneous approximations for the numbers $γ$ and $ζ(2)-γ^2.$

연구 동기 및 목표

• 유리수 $a > -1$, $b > 0$에 대해 에이프타카레프의 오일러 상수 $\gamma$에 대한 유리 근사식을 더 넓은 범주인 $\ln b - \psi(a+1)$로 일반화하기.
• 초함수 합과 조합 항등식을 사용하여 이러한 근사식의 분자와 분모에 대한 정확한 닫힌 형태의 표현식을 도출하기.
• 점점 증가하는 $n$에 대해 $\frac{p_n}{q_n} - (\ln b - \psi(a+1)) = O(e^{-2\sqrt{2bn}})$ 형태의 점점 감소하는 오차 한계를 증명하기.
• Rivoal의 $\gamma + \ln b$에 대한 근사식의 분모와 同시 근사된 $\gamma$ 및 $\zeta(2) - \gamma^2$에 대한 공통 분모에 대한 추측을 확인하기.
• 일반적 프레임워크를 사용하여 $\pi/2 \pm \gamma$와 같은 특수값에 대한 명시적 근사식을 구성하기.

제안 방법

• 미분 연산자가 $x^n(x^{n+a}(1-x)^{2n+1}e^{-bx})^{(n)}$에 작용하는 방식으로, $[0,1]$ 및 $[1,\infty)$에서 단항식과의 수직성을 보장하는 유리 함수의 수열 $Q_n^{(a,b)}(x)$를 정의하기.
• 분모 $q_n$과 분자 $p_n$에 대한 정확한 공식을 도출하기 위해, $Q_n^{(a,b)}(x)$를 $x^a(1-x)e^{-bx}$ 및 $x^a(1-x)e^{-bx}\ln x$로 가중한 모멘트로 근사식 $p_n/q_n$을 구성하기.
• 분모 $q_n$을 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (a+1)_{n+k} b^{n-k}$로 표현하며, 이는 정수 계수를 가진 $a$와 $b$에 대한 다항식이다.
• 분자 $p_n$을 조화수 $H_{n+k}(a)$를 포함하는 합과 부호가 번갈아지는 이중합, 이중계수를 포함하는 삼중합으로 표현하며, 이는 $\frac{1}{D_n}\mathbb{Z}[a,b]$에 속한다.
• 초함수 합의 점점 감소하는 분석을 통해 주요 행동을 유도: $q_n \sim (2n)! \frac{e^{\sqrt{2bn}}}{n^{1/4 - a}} c(a,b)$ 및 $p_n - q_n(\ln b - \psi(a+1)) \sim (2n)! \frac{-e^{\sqrt{2bn}}}{n^{1/4 - a}} 2\pi c(a,b)$.
• 특수 케이스에 이 방법을 적용: $a=0, b=1$은 $\gamma$에 대해, $a=0, b\in\mathbb{Q}$는 $\gamma + \ln b$에 대해, $b=1/8, a=-3/4$는 $\pi/2 + \gamma$에 대해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분자와 분모에 대해 명시적이고 닫힌 형태의 표현식을 가진 $\ln b - \psi(a+1)$에 대한 유리 근사식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 근사식의 점점 감소하는 오차 비율은 무엇이며, 이는 $n$과 매개변수 $a,b$로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $\gamma + \ln b$에 대한 근사식의 분모가 Rivoal의 추측된 형태 $\frac{n!}{D_n}$과 일치하는가?
• RQ4 이 방법을 동시에 $\gamma$와 $\zeta(2) - \gamma^2$를 근사하는 데 공통 분모를 사용하여 확장할 수 있는가?
• RQ5 $\pi/2 \pm \gamma$에 대한 근사식은 무엇이며, 그 수렴 속도는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 분모 $q_n$은 $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (a+1)_{n+k} b^{n-k} \in \mathbb{Z}[a,b]$로 주어지고, 분자 $p_n$은 $\frac{1}{D_n}\mathbb{Z}[a,b]$에 속한다.
• 특히 $a=0, b=1$일 때, 근사식은 재귀식 $(16n-15)q_{n+1} = (128n^3 + 40n^2 - 82n - 45)q_n - n^2(256n^3 - 240n^2 + 64n - 7)q_{n-1} + n^2(n-1)^2(16n+1)q_{n-2}$를 만족한다.
• 오일러 상수 $\gamma$에 대한 점점 감소하는 오차는 $n \to \infty$일 때 $\left| \frac{p_n}{q_n} - \gamma \right| = 2\pi e^{-2\sqrt{2n}}(1 + O(n^{-1/2}))$이다.
• $\gamma + \ln b$에 대해선 오차가 $\left| \frac{p_n}{q_n} - (\gamma + \ln b) \right| = 2\pi e^{-2\sqrt{2bn}}(1 + O(n^{-1/2}))$이다.
• $\pi/2 + \gamma$에 대해선 $a = -3/4, b = 1/8$일 때 오차는 $\left| \frac{p_n}{q_n} - \left(\gamma + \frac{\pi}{2}\right) \right| = 2\pi e^{-\sqrt{n}}(1 + O(n^{-1/2}))$이다.
• 이 방법은 Rivoal의 추측을 확인한다: $\gamma + \ln b$에 대한 근사식의 분모는 $\frac{n!}{D_n}\mathbb{Z}[b]$에 속하고, $\gamma$ 및 $\zeta(2) - \gamma^2$에 대한 공통 분모는 $\frac{1}{(n+1)^3 n!^2 D_n^2}\mathbb{Z}$에 속한다.