[논문 리뷰] Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes II: representations and sheaves

Iain J. Gordon, J. T. Stafford|ArXiv.org|2004. 10. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구조적 $\Delta$-함수자 construction을 통해 유리 Cherednik 대수와 평면 위의 점들의 Hilbert 스킴 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다. 이는 구조적 필터링된 모듈러스 $U_c$에 대해 $\overline{Hilb}(n)$ 위의 코herent sheaf를 부여한다. $c = 1/n$일 때, 자명한 모듈러스에 대응하는 층은 구점 Hilbert 스킴의 구조 층이며, Berest-Etingof-Ginzburg의 추측을 확인한다. 이는 유한 차원 모듈러스의 이중중량 구조가 Hilbert 스킴 위의 선다발의 코homology와 일치한다는 것이다.

ABSTRACT

Let H_c be the rational Cherednik algebra of type A_{n-1} with spherical subalgebra U_c=eH_ce. Then U_c is filtered by order of differential operators with associated graded ring gr U_c=C[h + h*]^W, where W is the n-th symmetric group. Using the Z-algebra construction from our earlier paper (math.RA/0407516) it is also possible to associate to a filtered H_c- or U_c-module M a coherent sheaf on the Hilbert scheme Hilb(n). Using this technique, we study the representation theory of U_c and H_c, and relate it to Hilb(n) and to the resolution of singularities from Hilb(n) to h+h*/W. For example, we prove: (1) If c=1/n, so that L_c(triv) is the unique one-dimensional simple H_c-module, then L_c(triv) corresponds to the structure sheaf of the punctual Hilbert scheme. (2) If c=1/n+k (for k some natural number) then, under a canonical filtration on the finite dimensional module L_c(triv), gr eL_{c}(triv) has a natural bigraded structure which coincides with that on the global sections of certain ample line bundles on the punctual Hilbert scheme; this confirms conjectures of Berest, Etingof and Ginzburg, and relates representations of H_c and U_c with Haiman's combinatorial work on the Hilbert scheme. (3) Under mild restrictions on c, the characteristic cycle of the standard H_c-modules are described in terms of certain irreducible subvarieties of the Hilbert scheme (appearing originally in work of Grojnowski) with multiplicities given by Kostka numbers.

연구 동기 및 목표

• 구조적 필터링된 모듈러스 $U_c$와 Hilbert 스킴 $\operatorname{Hilb}(n)$ 위의 코herent sheaf 사이의 함자적 대응을 수립하는 것.
• H_c 및 U_c의 표현 이론을 $\operatorname{Hilb}(n)$의 기하적 불변량, 특히 그 특이점의 해소 $\tau: \operatorname{Hilb}(n) \to \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{h}^* / W$와 연관짓는 것.
• Berest, Etingof, Ginzburg의 추측을 검증하는 것: $c = 1/n + k$일 때, $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$의 이중중량 구조가 $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$와 일치한다.
• 표준 모듈러스에 대응하는 층의 특성 사이클을 계산하고, Kostka 수와 $\tau^{-1}(0)$의 기약 성분과 연관짓는 것.

제안 방법

• GS에서 제안한 $\mathbb{Z}$-대수 construction을 활용하여, $U_c$에 대해 필터링된 $\mathbb{Z}$-대수 $B$를 부여하고, $\operatorname{gr} B \cong \bigoplus_{k \geq 0} H^0(\operatorname{Hilb}(n), \mathcal{L}^k)$를 얻는다.
• 모든 필터링된 $H_c$-모듈러스 $N$에 대해, $eH_c \otimes_{H_c} N$ 위의 텐서곱 필터링을 통해 $\operatorname{Hilb}(n)$ 위의 층 $\widehat{\Phi}(N)$을 구성한다.
• 이 $\mathbb{Z}$-대수 모듈러스에 대해 관련된 그레디에이션 함자를 적용하여, $\operatorname{gr} B$-모듈러스를 얻고, 이는 $\operatorname{Hilb}(n)$ 위의 코herent sheaf에 대응한다.
• 항등원 $e$를 통한 $H_c$와 $U_c$ 사이의 Morita 동치를 활용하여, 이 함자를 $U_c$-모듈러스 위에 정의할 수 있다.
• $\mathbf{E}$의 오일러 연산자와 $W$-작용으로 유도된 $\operatorname{gr} U_c$의 이중중량 구조를 이용해 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$의 구조를 분석한다.
• Conze 임bedding과 $D(\mathfrak{h}/W)$의 분석을 적용하여, $D(\mathfrak{h}/W)$가 $U_c$-왼쪽 평탄한 모듈러스임을 증명함으로써 기하학적 해석을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 Cherednik 대수 $U_c$의 필터링된 모듈러스를 어떻게 체계적으로 Hilbert 스킴 $\operatorname{Hilb}(n)$ 위의 코herent sheaf에 부여할 수 있는가?
• RQ2 $c = 1/n$일 때, $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$의 관련 그레디에이션 모듈러스의 기하학적 해석은 무엇인가?
• RQ3 $c = 1/n + k$일 때, $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$의 이중중량 구조가 Berest, Etingof, Ginzburg의 추측에 따라 $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$와 일치하는가?
• RQ4 $\widehat{\Phi}(e\Delta_c(\mu))$의 특성 사이클을 Kostka 수와 $\tau^{-1}(\mathfrak{h}/W)$의 기약 성분으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{Z}$-대수 $B$는 어떻게 $U_c$-모듈러스를 $\operatorname{Hilb}(n)$ 위의 층으로 실현하는가? 그의 그레디에이션 구조는 Hilbert 스킴의 기하학을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• $c = 1/n$일 때, 층 $\widehat{\Phi}(eL_c(\operatorname{triv}))$는 $\mathcal{O}_{\operatorname{Z}_n}$, 즉 구점 Hilbert 스킴 $\operatorname{Z}_n = \tau^{-1}(0)$의 구조 층과 동형이다.
• $c = 1/n + k$이고 $k \in \mathbb{N}$일 때, 관련 그레디에이션 모듈러스 $\operatorname{gr} eL_c(\operatorname{triv})$는 자연스러운 이중중량 구조를 지니며, 이는 $H^0(\operatorname{Z}_n, \mathcal{L}^k)$의 이중중량 구조와 일치한다. 이는 Berest, Etingof, Ginzburg의 추측을 확인한다.
• 일부 조건 하에서 $c$에 대해, $\widehat{\Phi}(e\Delta_c(\mu))$의 특성 사이클은 $\sum_{\lambda} K_{\mu\lambda} [Z_\lambda]$로 표현되며, 여기서 $K_{\mu\lambda}$는 Kostka 수이고 $Z_\lambda$는 $\tau^{-1}(\mathfrak{h}/W)$의 기약 성분이다.
• $D(\mathfrak{h}/W)$는 Conze 임bedding과 $\operatorname{gr} D(\mathfrak{h}/W)$의 이중중량 분석을 통해 $U_c$-왼쪽 평탄한 모듈러스임을 증명하였다.
• $\mathbb{Z}$-대수 $B$는 $\operatorname{Hilb}(n)$의 동차좌표환의 비가환 변형을 제공하며, $\operatorname{gr} B \cong \bigoplus_{k \geq 0} H^0(\operatorname{Hilb}(n), \mathcal{L}^k)$이다.
• $eH_c \otimes_{H_c} N$ 위의 텐서곱 필터링을 통한 $\widehat{\Phi}$의 구성은 필터링된 $H_c$-모듈러스에서 $\operatorname{Hilb}(n)$ 위의 코herent sheaf로 가는 잘 정의된 함자를 제공하며, Morita 동치와도 호환된다.