[논문 리뷰] Rational Fibrations of $\bar{M}_{5,1}$ and $\bar{M}_{6,1}$

David Jensen|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 딜 페초 표면과 옥수류 초평면을 이용한 기하 구조를 통해, $​𝐵_{5,1}$ 및 $​𝐵_{6,1}$의 모듈리 공간에서 더 낮은 차원의 점이 있는 유리 곡선의 모듈리 공간으로의 유리 피브레이션을 구축한다. 주요 결과는 효과적 콩 내에서 극단적 꼬리(ray)를 생성하는 웨이어스트라스 유효자 $BN^{1}_{5,(0,5)}$와 $​𝐵_{6,1}$ 상의 새로운 유효자 $D_6$를 밝혀내며, 이는 비자명한 비유리 변환 대신 유리 사상에 의한 새로운 극단적 유효자의 예를 제공한다.

ABSTRACT

This is the second of two papers on the birational geometry of $\bar{M}_{g,1}$. We construct rational maps from $\bar{M}_{5,1}$ and $\bar{M}_{6,1}$ to lower-dimensional moduli spaces. As a consequence, we identify geometric divisors that generate extremal rays of the effective cones for these spaces.

연구 동기 및 목표

• 낮은 차원의 대상으로의 비자명한 사상이 존재하지 않는다는 장애를 극복하기 위해, $​𝐵_{5,1}$ 및 $​𝐵_{6,1}$에서 더 단순한 모듈리 공간으로의 유리 사상을 구축하는 것.
• $​𝐵_{5,1}$ 및 $​𝐵_{6,1}$ 내의 기하 유효자를 식별하여, 효과적 콩 $​𝑝​𝑝^1$ 내에서 극단적 꼬리를 생성하는 것.
• 유리 사상에 의해 유도되는 기하적 구조(예: 딜 페초 표면과 옥수류 초평면)를 이용하여, 비유리 변환을 초월한 극단적 꼬리의 이해를 확장하는 것.
• 모듈리 공간의 효과적 콩 내에서 극단적 꼬리를 탐지하기 위한 새로운 기하적 메커니즘—즉, 유리 사상에 의한 경계 유효자의 역상—을 제공하는 것.

제안 방법

• 모듈리 공간 $​𝐵_{5,1}$에 대해, 종수 5 곡선의 캐논리컬 매bedding을 $​\mathbb{P}^4$에 적용하여 세 개의 이차곡면의 완전교차로 표현하고, 이에 관련된 딜 페초 표면과 옥수류 초평면의 교점을 분석함으로써 유리 사상 $φ_5$를 구성한다.
• 딜 페초 표면을 표시된 점에서 블로우업하고, 그로 인해 생긴 엄격한 전이의 교점에서 다시 블로우업하여, 네 개의 표시된 점을 가진 $​\mathbb{P}^1$을 얻고, 이로써 $​𝐵_{0,4}$로의 사상이 유도된다.
• 모듈리 공간 $​𝐵_{6,1}$에 대해, 일반적인 종수 6 곡선이 매끄러운 오차수 5의 딜 페초 표면 $Y$ 상에서 $|-2K_Y|$의 단면으로 매립됨을 이용하고, 곡선을 忽시하고 표시된 점만 유지함으로써 유리 사상 $φ_6$를 정의하며, 이는 $Y/S_5 \cong \widetilde{M}_{0,5}$로 사상된다.
• 사상 $φ_5$ 및 $φ_6$ 아래에서 점이 있는 브릴-노에르 유효자들의 상을 분석하여, 이들이 $​𝐵_{0,4}$ 및 $​𝐵_{0,5}$ 상의 경계 유효자의 역상에 속해 있음을 보여준다.
• 유리 사상 아래에서 두 유효자가 같은 점으로 사상되고, 그 중 하나가 다른 하나의 배수로 표현되지 않는다면, 그 두 유효자가 모두 $​𝑝​𝑝^1$ 내에서 극단적 꼬리를 생성함을 보여주는 보조정리 2.3을 활용한다.
• 수치적 동치성과 알려진 유효자 관계(예: $BN^{1}_{4,(0,3)} = BN^{1}_{5,(0,5)} + BN^{1}_{3}$)를 이용하여 선형 동치성을 배제하고, 극단성(extremality)을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간 $​𝐵_{g,1}$에서 유리 곡선의 모듈리 공간으로의 유리 피브레이션은 효과적 콩 내에서 극단적 꼬리를 드러내는가?
• RQ2 웨이어스트라스 유효자 $BN^{1}_{5,(0,5)}$는 $​𝑝​𝑝^1(\overline{M}_{5,1})$ 내에서 극단적 꼬리를 생성하는가?
• RQ3 $​𝐵_{6,1}$ 상에 있는, 점이 있는 브릴-노에르 유형이 아닌 기하 유효자 중에서 극단적 꼬리를 생성하는 것이 있는가?
• RQ4 유리 사상에 의한 경계 유효자의 역상은 $​𝐵_{g,1}$의 효과적 콩 내에서 극단적 꼬리를 탐지하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 사상 $φ_5$ 아래에서 $BN^{1}_{5,(0,5)}$의 상이 $​𝐵_{0,4}$ 상의 한 점의 역상에 포함되므로, $BN^{1}_{5,(0,5)}$는 $​𝑝​𝑝^1(\overline{M}_{5,1})$ 내에서 극단적 꼬리를 생성한다.
• 점이 있는 브릴-노에르 유효자 $BN^{1}_{4,(0,3)}$는 $​𝐵_{0,4}$ 상의 앰플한 유효자의 역상이므로, 이는 극단적 꼬리를 생성함을 의미한다.
• $​𝐵_{6,1}$ 상의 유효자 $D_6$는, 표시된 점에서 $g^2_6$와 $g^1_4$가 분기하는 곡선들의 클로처로 정의되며, $​𝑝​𝑝^1(\overline{M}_{6,1})$ 내에서 극단적 꼬리를 생성한다.
• $BN^{2}_{6,(0,2,4)}$는 수치적으로 $BN^{1}_{4,(0,3)}$의 배수와 동치이다. 이는 $BN^{1}_{5,(0,5)}$나 $BN^{1}_{3}$와 선형 동치가 될 수 없기 때문이며, 이 둘은 비이동성(moving)이 아니기 때문이다.
• 사상 $φ_5: \overline{M}_{5,1} \dashrightarrow \overline{M}_{0,4}$는 곡선과 표시된 점에 관련된 딜 페초 표면의 블로우업을 통해 구성되며, 이로써 모듈리 공간의 기하적 매개변수화가 이루어진다.
• 사상 $φ_6: \overline{M}_{6,1} \dashrightarrow \widetilde{M}_{0,5}$는 종수 6 곡선이 오차수 5의 딜 페초 표면에 고유하게 매립됨에 기반하며, 표시된 점이 이미지 점을 결정한다.