[논문 리뷰] Rational functions with identical measure of maximal entropy

Hexi Ye|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 19.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 유리 함수가 동일한 최대 엔트로피 측도(MME)를 가질 때를 조사하며, 일반적인 $ d \geq 3 $ 차수의 유리 사상에 대해 동일한 MME는 두 사상이 동일한 반복함수($ f^n = g^m $)를 공유함을 보여준다. 2차의 경우, $ \sigma_f $ 라는 대칭성이 존재하여 $ \sigma_f \circ f^n $ 도 MME를 공유할 수 있다. 논문은 $ f^n \neq \sigma \circ g^m $ 인 명시적 예를 구성함으로써, MME 조건에서 다항식 유형의 관계가 항상 유리 함수의 경우 성립하지는 않음을 증명한다.

ABSTRACT

We discuss when two rational functions $f$ and $g$ can have the same measure of maximal entropy. The polynomial case was completed by (Beardon, Levin, Baker-Eremenko,Schmidt-Steinmetz, etc., 1980s-90s), and we address the rational case following Levin-Przytycki (1997). We show: $μ_f = μ_g$ implies that $f$ and $g$ share an iterate ($f^n = g^m$ for some $n$ and $m$) for general $f$ with degree $d \geq 3$. And for generic $f\in \Rat_{d\geq 3}$, $μ_f = μ_g$ implies $g=f^n$ for some $n \geq 1$. For generic $f\in \Rat_2$, $μ_f = μ_g$ implies that $g= f^n$ or $σ_f\circ f^n$ for some $n\geq 1$, where $σ_f\in PSL_2(\C)$ permutes two points in each fiber of $f$. Finally, we construct examples of $f$ and $g$ with $μ_f = μ_g$ such that $f^n eq σ\circ g^m$ for any $σ\in PSL_2(\C)$ and $m,n\geq 1$.

연구 동기 및 목표

• 두 유리 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 동일한 최대 엔트로피 측도(MME)를 가질 때를 규명하는 것.
• 기존의 다항식 결과—동일한 MME는 조르두 세트의 등식과 반복 동치성을 의미함—을 유리 함수 설정으로 확장하는 것.
• 일반적인 $ f \in \mathrm{Rat}_d $ 에 대해 $ \mu_f $ 와 동일한 측도를 가진 모든 유리 함수로 이루어진 집합 $ M_f $ 의 구조를 특성화하는 것.
• 반복 또는 모비우스 코어지네이션 관계가 없는 비특수 유리 함수의 예를 명시적으로 구성하는 것.

제안 방법

• 조르두 집합 $ J_f $ 에 기반한 유일한 $ f $-불변 확률 측도 $ \mu_f $ 를 사용하며, 이는 최대 엔트로피 $ \log d_f $ 를 달성한다.
• 특히 $ d \geq 3 $ 에서 단순 임계값을 중심으로, 임계값과 그 다중성을 다루는 이론을 적용한다.
• 2차 사상에 대해 유일한 모비우스 대칭 $ \sigma_f \in \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C}) $ 가 존재하며, 이는 섬유를 치환하고 $ \mu_f $ 를 유지한다.
• 삼중체 $ (R, S, T) $ 를 이용해 반례를 구성하며, $ T \circ R = T \circ S $, $ R \neq \sigma \circ S $, 그리고 $ \mu_{R \circ T} = \mu_{S \circ T} $ 를 만족시키며, $ V_T \subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 에서 종수 0 곡선의 정규화를 활용한다.
• 고정점 근처의 국소 동역학과 호로노미 논증을 적용하여, MME 등식과 공통의 주기점이 존재할 경우, 두 함수가 가환성을 가짐을 보인다.
• 엔트로피, 전주기점, 동역학적 동치성에 관한 [LY1], [FLM], [Le1], [YZ] 의 결과를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 유리 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 동일한 최대 엔트로피 측도를 가질 때는 언제인가요?
• RQ2 다항식의 경우와 마찬가지로 $ \mu_f = \mu_g $ 는 $ f^n = g^m $ 또는 어떤 모비우스 변환 $ \sigma $ 에 대해 $ f^n = \sigma \circ g^m $ 이라는 조건과 동치인가요?
• RQ3 두 함수 사이에 반복 또는 모비우스 코어지네이션 관계가 없더라도 $ \mu_f = \mu_g $ 가 성립할 수 있는가요?
• RQ4 일반적인 $ f \in \mathrm{Rat}_d $ 에 대해 집합 $ M_f = \{ g \in \mathrm{Rat}_d : \mu_g = \mu_f \} $ 의 구조는 어떻게 되나요?
• RQ5 동일한 MME를 가진다 해도 주기점 집합이 다른 유리 함수가 존재하는가요?

주요 결과

• 일반적인 $ f \in \mathrm{Rat}_d $ 에 대해 $ d \geq 3 $ 이면 $ \mu_f = \mu_g $ 이면 어떤 $ n, m \geq 1 $ 에 대해 $ f^n = g^m $ 이며, 이는 $ M_f = \{ f^n \}_{n \geq 1} $ 를 의미한다.
• 일반적인 $ f \in \mathrm{Rat}_2 $ 에 대해 $ \mu_f = \mu_g $ 이면 $ g = f^n $ 또는 $ g = \sigma_f \circ f^n $ 이며, $ n \geq 1 $ 이고 $ \sigma_f $ 는 섬유를 치환하는 모비우스 대칭이다.
• 반복 또는 모비우스 코어지네이션 관계가 없는 비특수 유리 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 존재하며, $ \mu_f = \mu_g $ 이지만 어떤 $ \sigma \in \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C}) $ 와 $ n, m \geq 1 $ 에 대해 $ f^n \neq \sigma \circ g^m $ 이다. 이는 다항식의 경우에 대한 직접적인 일반화가 성립하지 않음을 반증한다.
• 이러한 예의 구성은 $ T \circ R = T \circ S $, $ R \neq \sigma \circ S $, 그리고 $ V_T $ 가 종수 0 정규화와 이차수 $ (r,r) $, $ r \geq 2 $ 를 가진다.
• 특수 사상, 예를 들어 $ f(z) = z^{d_f} $ 와 같은 경우, $ \mu_f = \mu_g $ 는 $ f^n = g^m $ 를 의미하지 않으며, 둘 다 무한한 주기점 집합을 가질지라도 주기점 집합이 다를 수 있다.
• 논문은 $ \mu_f = \mu_g $, $ \operatorname{Per}(f) \cap \operatorname{Per}(g) \neq \emptyset $, 그리고 $ \mu_f $-거의확실한 동역학 조건 하에서, 적당한 조건 하에 $ f $ 와 $ g $ 가 가환함을 증명한다.