[논문 리뷰] Rational homotopy theory of mapping spaces via Lie theory for L-infinity algebras

Alexander Berglund|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 노르마르티브 $L_\infty$-대수에 관련된 딜레인-게츠러 ∞-군의 다중 호모로피 그룹을 계산함으로써, 사영 호모로피 이론의 리 이론적 프레임워크를 수립한다. 핵심 결과는 $L_\infty$-대수의 왜곡된 호모로피 군과 ∞-군의 호모로피 군 사이의 명시적 동형사상으로, 이는 $L_\infty$-모델의 텐서곱, 왜곡, 절단을 통해 사영 호모로피 이론에서 매핑 공간의 구성요소에 대한 수술러 모델을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We calculate the higher homotopy groups of the Deligne-Getzler infinity-groupoid associated to a nilpotent L-infinity algebra. As an application, we present a new approach to the rational homotopy theory of mapping spaces.

연구 동기 및 목표

• 사영 호모로피 이론의 매핑 공간에 대해 $L_\infty$-대수를 사용한 리 이론적 접근법을 개발한다.
• 노르마르티브 $L_\infty$-대수에 관련된 딜레인-게츠러 ∞-군의 고차 호모로피 군을 계산한다.
• 메우러-카르탕 모듈리스와 호모로피 군의 동형사상에 의해 $\infty$-군의 동치를 유도하는 $L_\infty$-준동형사상의 특성화를 한다.
• 딜레인-게츠러 ∞-군의 구성법을 완비된 $L_\infty$-대수로 확장하고, 이 설정에서 주요 결과를 일반화한다.
• 사영 호모로피 이론에서 매핑 공간의 연결 성분에 대한 명시적이고 계산 가능한 $L_\infty$-대수 모델을 제공한다.

제안 방법

• 논문은 노르마르티브 $L_\infty$-대수 $\mathfrak{g}$에 관련된 딜레인-게츠러 ∞-군의 구성 $\gamma_\bullet(\mathfrak{g})$를 사용하며, 이는 dg 리 대수에 대한 딜레인 군의 일반화이다.
• 메우러-카르탕 원소 $\tau$에 의한 왜곡 $\mathfrak{g}^\tau$를 고려하여, 고차 호모로피 군 $\pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$를 명시적 동형사상 $B: \mathrm{H}_n(\mathfrak{g}^\tau) \to \pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$를 통해 계산한다.
• $\mathrm{H}_0(\mathfrak{g}^\tau)$의 군 구조는 캄브-하우스도르프 공식을 통해 정의된다.
• 완비된 $L_\infty$-대수, 즉 노르마르티브 $L_\infty$-대수의 타워의 반대로한 극한으로 정의된 완비 $L_\infty$-대수로 ∞-군의 구성법을 확장한다.
• 주요 응용은 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q}) \simeq \gamma_\bullet(A \hat{\otimes} L)$로, 여기서 $A$는 $X$에 대한 cdga 모델이고 $L$은 $Y$에 대한 $L_\infty$-모델이며, $A \hat{\otimes} L$은 $A \otimes L / L_{\geq r}$의 반대로한 극한이다.
• 만일 $A \hat{\otimes} L$이 유한 유형이면, $C^*((A \hat{\otimes} L)_{\geq 0}^\tau)$의 체바레브-에일렌버그 구성법을 통해 매핑 공간 성분에 대한 수술러 모델을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노르마르티브 $L_\infty$-대수에 관련된 딜레인-게츠러 ∞-군의 고차 호모로피 군을 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 $L_\infty$-준동형사상이 $\infty$-군의 동치를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 어떻게 $L_\infty$-대수를 사용하여 사영 호모로피 이론에서 매핑 공간 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$의 호모로피 유형을 모델링할 수 있는가?
• RQ4 딜레인-게츠러 ∞-군의 구성법을 완비된 $L_\infty$-대수로 확장할 수 있으며, 주요 결과는 이 설정에서 일반화되는가?
• RQ5 사영 호모로피 이론에서 매핑 공간의 연결 성분에 대한 명시적 $L_\infty$-대수 모델은 무엇인가?

주요 결과

• $n \geq 0$에 대해 자연스러운 군 동형사상 $B: \mathrm{H}_n(\mathfrak{g}^\tau) \to \pi_{n+1}(\gamma_\bullet(\mathfrak{g}), \tau)$가 존재하며, $\mathrm{H}_0(\mathfrak{g}^\tau)$의 군 구조는 캄브-하우스도르프 공식으로 주어진다.
• $L_\infty$-준동형사상 $f: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$는 메우러-카르탕 모듈리스에 대한 전단사 사상과 왜곡 후 비음수 차수에서의 호모로피 군 동형사상이 유도될 때에만 $\infty$-군의 동치를 유도한다.
• 유한 유형의 노르마르티브 $L_\infty$-대수 $\mathfrak{g}$에 대해, $\gamma_\bullet(\mathfrak{g})$에 포함된 메우러-카르탕 원소 $\tau$를 포함하는 성분은 $\gamma_\bullet(\mathfrak{g}_{\geq 0}^\tau)$와 호모로피 동치이며, $C^*(\mathfrak{g}_{\geq 0}^\tau)$는 그 성분에 대한 수술러 모델이다.
• 매핑 공간 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$는 $\gamma_\bullet(A \hat{\otimes} L)$와 호모로피 동치이며, 여기서 $A$는 $X$에 대한 cdga 모델이고 $L$은 $Y$에 대한 $L_\infty$-모델이며, $A \hat{\otimes} L$은 $A \otimes L / L_{\geq r}$의 반대로한 극한이다.
• 매핑 $f: X \to Y_\mathbb{Q}$가 메우러-카르탕 원소 $\tau$에 대응할 때, $n \geq 0$에 대해 $\pi_{n+1}(\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q}), f) \cong \mathrm{H}_n((A \hat{\otimes} L)^\tau)$이 성립하며, $n \geq 1$에 대해서는 유리수 벡터 공간 동형사상이고, $n = 0$에 대해서는 캄브-하우스도르프 공식에 의해 군 동형사상이다.
• 만일 $A \hat{\otimes} L$이 유한 유형이면, $C^*((A \hat{\otimes} L)_{\geq 0}^\tau)$는 $\operatorname{Map}(X,Y_\mathbb{Q})$의 $f$를 포함하는 성분에 대한 수술러 모델이다.