[논문 리뷰] Rational Normal Scrolls and the Defining Equations of Rees Algebras

Andrew R. Kustin, Claudia Polini외 1명|ArXiv.org|2008. 12. 29.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항식환 k[x,y]에서 높이가 2인 이상의 이상적에 대해, 그 presenting 행렬의 한 열만 비선형이고 나머지는 선형인 경우, Rees 대수의 정의 아이디얼에 대한 명시적 생성집합을 제공한다. 동차좌표환을 갖는 유리 정규 스크롤을 이용하여, Cohen-Macaulay성 가정 없이 Rees 대수와 그 거듭제곱을 단순한 모노미얼 아이디얼과 일반화된 Eagon-Northcott 복합체를 통해 해체하며, 정의 방정식과 Betti 수에 대한 닫힌 형식의 공식을 도출한다.

ABSTRACT

Consider a height two ideal, $I$, which is minimally generated by $m$ homogeneous forms of degree $d$ in the polynomial ring $R=k[x,y]$. Suppose that one column in the homogeneous presenting matrix $\f$ of $I$ has entries of degree $n$ and all of the other entries of $\f$ are linear. We identify an explicit generating set for the ideal $\Cal A$ which defines the Rees algebra $\Cal R=R[It]$; so $\Cal R=S/\Cal A$ for the polynomial ring $S=R[T_1,...,T_m]$. We resolve $\Cal R$ as an $S$-module and $I^s$ as an $R$-module, for all powers $s$. The proof uses the homogeneous coordinate ring, $A=S/H$, of a rational normal scroll, with $H\subseteq \Cal A$. The ideal $\Cal AA$ is isomorphic to the $n^{ ext{th}}$ symbolic power of a height one prime ideal $K$ of $A$. The ideal $K^{(n)}$ is generated by monomials. Whenever possible, we study $A/K^{(n)}$ in place of $A/\Cal AA$ because the generators of $K^{(n)}$ are much less complicated then the generators of $\Cal AA$. We obtain a filtration of $K^{(n)}$ in which the factors are polynomial rings, hypersurface rings, or modules resolved by generalized Eagon-Northcott complexes. The generators of $I$ parameterize an algebraic curve $\Cal C$ in projective $m-1$ space. The defining equations of the special fiber ring $\Cal R/(x,y)\Cal R$ yield a solution of the implicitization problem for $\Cal C$.

연구 동기 및 목표

• k[x,y]에서 presenting 행렬의 한 열만 비선형인 높이 2 이상적의 Rees 대수의 정의 방정식을 결정하는 것.
• Cohen-Macaulay성 가정 없이 Rees 대수와 그 거듭제곱을 다항식환 위의 모듈로로 해체하는 것.
• 정의 아이디얼 연구를 단순화하기 위해 대칭 대수를 정규 도메인(유리 정규 스크롤의 동차좌표환)으로 대체하는 것.
• Rees 대수와 그 거듭제곱의 정의 방정식과 Betti 수에 대한 닫힌 형식의 공식을 제공하는 것.
• 이상의 생성원에 의해 매개변수화된 곡선의 암묵화 문제를 특별 섬유환을 통해 해결하는 것.

제안 방법

• 유리 정규 스크롤의 동차좌표환 $A = S/H$ 를 대칭 대수의 대체로 사용하며, 이는 정규 도메인이다.
• 사상 $A \to \mathcal{R}(I)$ 의 핵 $\mathcal{A}A$ 를, $A$ 내의 높이 1 소 아이디얼 $K$ 의 $n^{\text{th}}$ 서브스키매틱 거듭제곱 $K^{(n)}$ 와 동형으로 식별한다. 이 $K^{(n)}$ 은 모노미얼로 생성된다.
• 요소들이 다항식환, 초곡면환, 또는 일반화된 Eagon-Northcott 복합체로 해체되는 $K^{(n)}$ 의 필터를 구성한다.
• 모노미얼의 구조를 활용하여, $\mathcal{A}A \cong K^{(n)}$ 의 동형을 통해 복잡한 행렬식 방법을 피하면서 $\mathcal{R}(I)$ 의 정의 방정식을 계산한다.
• Hilbert 함수와 자유 모듈로의 Hilbert 함수 비교를 통해 Lemma \tnum{L19.14} 를 이용해 최소 자유 해체를 재구성한다.
• 유리 정규 스크롤 위의 약수 이론을 적용하여 $\mathcal{A}A$ 의 약수 클래스를 묘사하고 명시적 해체를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k[x,y]에서 거의 선형적으로 표현된 이상 $I$ 에 대해, Rees 대수 $\mathcal{R}(I)$ 의 정의 아이디얼 $\mathcal{A}$ 에 대한 명시적 생성집합은 무엇인가?
• RQ2 Cohen-Macaulay성 가정 없이 Rees 대수 $\mathcal{R}(I)$ 와 그 거듭제곱 $I^s$ 는 어떻게 다항식환 위의 모듈로 해체할 수 있는가?
• RQ3 정의 아이디얼 연구를 단순화하기 위해 대칭 대수를 정규 도메인으로 대체할 수 있는가?
• RQ4 특별 섬유환 $\mathcal{R}(I)/(x,y)\mathcal{R}(I)$ 의 구조는 무엇이며, 이는 $I$ 가 매개변수화하는 곡선의 암묵화 문제를 어떻게 해결하는가?
• RQ5 $I^s$ 의 Betti 수와 정규성은 어떻게 되며, 이는 presenting 행렬의 열 차수에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• Rees 대수 $\mathcal{R}(I)$ 의 정의 아이디얼 $\mathcal{A}$ 는, 유리 정규 스크롤의 동차좌표환 내 높이 1 소 아이디얼의 $n^{\text{th}}$ 서브스키매틱 거듭제곱 $K^{(n)}$ 의 모노미얼 생성원의 역상에 의하여 생성된다.
• Rees 대수 $\mathcal{R}(I)$ 는 $K^{(n)}$ 의 필터를 통해 $S$-모듈로로 해체되며, 그 요소들은 일반화된 Eagon-Northcott 복합체로 해체된다.
• 최소 동차 해체는 $I^s$ 의 presenting 행렬에서 비선형 열의 수 $a = \lceil (n-1)/\sigma_1 \rceil$ 에 의해 완전히 결정되며, Betti 수는 $a$, $s$, $d$, $n$ 에 대해 명시적으로 주어진다.
• 정규성은 $\rho = 1$ 이면 $sd + n - 1$ 이며, $\rho = 2$ 이면 $s \geq \lceil (n-1)/\sigma_2 \rceil + 1$ 이고, 등호가 성립하는 것은 $I^s = (x,y)^{sd}$ 인 경우에 정확히 해당한다.
• 특별 섬유환 $\mathcal{F}(I)$ 의 포스티큘레이션 수는 $\rho = 2$ 이면 $\lceil (n-1)/\sigma_2 \rceil$, $\rho = 1$ 이면 $\lceil (n-1)/\sigma_1 \rceil - 1$ 이며, Hilbert 다항식과 함수 비교로부터 유도된다.
• 아이디얼 $\mathcal{A}$ 는 $I^s$ 의 presenting 행렬의 최대 차수 미니멀의 행렬식으로 생성되며, 정의 방정식의 차수는 $sd + \binom{a}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) + (s-1)\sigma_2 a - na$ 이다.