[논문 리뷰] Rational points in periodic analytic sets and the Manin-Mumford conjecture

Jonathan Pila, Umberto Zannier|ArXiv.org|2008. 02. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 o-미니멀 구조에서의 유리점 수를 세는 Pila-Wilkie의 방법과 Masser의 토르전점 차수에 대한 하한을 조합한 하이브리드 접근법을 사용하여 맨인-멈포드 추측에 대한 새로운 아르키메데스 증명을 제시한다. 복소 타원곡선 위의 토르전점을 유리점으로 간주하고, 해석기하학적 상한과 산술 차수 추정의 하한을 비교함으로써, 아벨 다양체의 부분다양체가 토르전점을 유한 개 이하로 포함함을 증명한다. 유일한 예외는 토르전점을 이동한 아벨 부분다양체일 때이다.

ABSTRACT

We present a new proof of the Manin-Mumford conjecture about torsion points on algebraic subvarieties of abelian varieties. Our principle, which admits other applications, is to view torsion points as rational points on a complex torus and then compare (i) upper bounds for the number of rational points on a transcendental analytic variety (Bombieri-Pila-Wilkie) and (ii) lower bounds for the degree of a torsion point (Masser), after taking conjugates. In order to be able to deal with (i), we discuss (Thm. 2.1) the semi-algebraic curves contained in an analytic variety supposed invariant for translations by a full lattice, which is a topic with some independent motivation.

연구 동기 및 목표

• 기존의 코homological 또는 모델이론적 접근과는 다를 바 있는 분석적이고 산술적인 방법을 사용하여 맨인-멈포드 추측에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 레이노의 원래 정리의 일반화로서 아벨 다양체의 부분다양체 위의 토르전점에 대한 균일한 유한성 결과를 확립한다.
• Pila-Wilkie를 통한 o-미니멀 기하학의 적용과 Masser를 통한 산술 차수 추정의 적용이 디오판틴 문제에 어떻게 유용한지 보여준다.
• 향후 이 방법을 다른 산술기하 문제, 예를 들어 앤드레-오르트 추측이나 가속도수에 따른 토르전점의 유한성 문제에 응용할 수 있는 기반을 마련한다.
• 유리점이 주기적인 해석집합 위에 존재할 때와 그들이 대수기하학과 어떻게 상호작용하는지를 고려하여 고전적 결과들을 통합하고 재구성한다.

제안 방법

• 균일화 이sov(omorphism $\beta: \mathbb{C}^g / \Lambda \to A$를 통해 아벨 다양체 위의 토르전점을 복소 타원곡선 위의 유리점으로 표현한다.
• 대수다양체 $X \subset A$를 $\mathbb{Z}^{2g}$에 대해 불변인 해석다양체 $Z \subset \mathbb{R}^{2g}$로 올리며, 이때 $X$ 위의 토르전점은 $Z$ 위의 유리점과 대응된다.
• Pila-Wilkie 정리를 적용하여 $Z$ 위의 분모가 제한된 유리점의 수를 유계로 제한한다. 이때 반대칭대수곡선 위에 있는 점들은 제외한다.
• Masser의 결과를 사용하여 순서가 $T$인 토르전점의 차수에 대해 하한 $\gg T^{\rho}$를 확립함으로써, 그 갈루아 수반이 많은 서로 다른 토르전점을 유도함을 보인다.
• Pila-Wilkie의 상한 $\ll T^{\epsilon}$와 Masser의 하한 $\gg T^{\rho}$를 비교함으로써, 큰 $T$에 대해 모순을 이끌어내어 토르전점의 차수가 유계임을 증명한다.
• 차원에 대한 귀납법과 특수화를 통해 복소수 위의 일반적인 경우를 수체 위의 경우로 줄이고, 아벨 다양체의 코스에 대한 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-진 또는 모델이론적 기법이 아닌 아르키메데스 기법을 사용하여 맨인-멈포드 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ2 Pila-Wilkie 정리에서 o-미니멀 구조 내의 유리점에 대한 결과와 산술 차수 하한을 어떻게 조합하여 유한성 결과를 이끌 수 있는가?
• RQ3 주기적인 해석집합이 반대칭대수곡선을 포함하지 않도록 보장하는 조건은 무엇이며, 이는 아벨 다양체 내의 부분다양체의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이 방법을 고정된 차수와 차원을 가진 부분다양체의 가속도수에 대해 균일한 유한성 결과로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이 전략을 맨인-멈포드 추측의 곱셈적 동반 문제에 적용할 수 있는가? 특히 파워 시리즈에 대한 샤크스 추측의 Ax 정리를 활용하여 가능할까?

주요 결과

• Pila-Wilkie 정리에 따르면, 반대칭대수곡선을 포함하지 않는 주기적인 해석집합 $Z$ 위의 분모가 $T$인 유리점의 수는 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $\ll T^{\epsilon}$ 이하로 유계이다.
• 차원 $g$인 아벨 다양체에 속한 정확한 순서 $T$를 가진 토르전점의 수체 위에서의 차수는 Masser의 결과에 의해 $\gg T^{\rho}$ 이하로 유계이며, 여기서 $\rho > 0$은 $g$에만 의존한다.
• 부분다양체 $X \subset A$가 순서 $T$인 토르전점을 포함한다면, 갈루아 수반에 의해 적어도 $\gg T^{\rho}$개의 같은 순서의 토르전점이 존재하므로, 충분히 큰 $T$에 대해 $T^{\epsilon}$ 유계와 모순된다.
• 토르전점을 포함하는 부분다양체 $X \subset A$가 어떤 토르전점을 이동한 아벨 부분다양체가 아니라면, 그 안의 모든 토르전점의 차수는 상한으로 유계이며, 이는 $X$ 위에 무수히 많은 토르전점이 존재할 수 없음을 의미한다.
• 고정된 차원과 차수를 가진 $X$에 대해, $X$ 위의 모든 토르전점을 덮기 위해 필요한 아벨 부분다양체의 코스 수에 대한 균일한 유계가 존재한다.
• 이 방법은 일반화 가능하다. 이미 이 전략을 적용하여 타원곡선 $E_l: y^2 = x(x-1)(x-l)$ 위에서 $P_l = (2, y)$와 $Q_l = (3, y)$가 모두 토르전점이 되는 복소수 $l$이 유한 개임을 증명한 바 있다.