[논문 리뷰] Rational points near self-similar sets

Han Yu|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자기유사 측도의 푸리에 감쇠 분석을 통해 자기유사 집합 근처 유리점의 등분포를 확립하고, 중간-$p$번째 칸토어 측도에 대해 수렴형 칸친 정리의 증명을 제시한다. $p \geq 15$일 경우, 추측 A(집합 $K \cap W_{>1}$의 차원이 $\dim_{\mathrm{H}}K$와 같음)를 확인하고, 추측 B의 일부를 검증하며, 수치적 증거를 통해 $p > 10^7$이면 충분하고, 대부분의 결과에 대해 $p \geq 15$가 충분함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a problem of counting rational points near self-similar sets. Let $n\geq 1$ be an integer. We shall show that for some self-similar measures on $\mathbb{R}^n$, the set of rational points $\mathbb{Q}^n$ is 'equidistributed' in a sense that will be introduced in this paper. This implies that an inhomogeneous Khinchine convergence type result can be proved for those measures. In particular, for $n=1$ and large enough integers $p,$ the above holds for the middle-$p$th Cantor measure, i.e. the natural Hausdorff measure on the set of numbers whose base $p$ expansions do not have digit $[(p-1)/2].$ Furthermore, we partially proved a conjecture of Bugeaud and Durand for the middle-$p$th Cantor set and this also answers a question posed by Levesley, Salp and Velani. Our method includes a fine analysis of the Fourier coefficients of self-similar measures together with an Erdős-Kahane type argument. We will also provide a numerical argument to show that $p>10^7$ is sufficient for the above conclusions. In fact, $p\geq 15$ is already enough for most of the above conclusions.

연구 동기 및 목표

• 결함 없는 디지트 집합과 잘 근사 가능한 수의 교차부의 차원에 관한 오랫동안 남아있던 추측을 해결하기 위해.
• 특히 중간-$p$번째 칸토어 측도에 대해 $\mathbb{R}^n$ 상의 자기유사 측도에 대해 수렴형 칸친 정리를 확립하기 위해.
• 푸리에 분석과 에르도스-카한 방법을 통해 자기유사 측도에 대한 유리점의 등분포를 입증하기 위해.
• 핵심 결과에 대해 $p \geq 15$가 충분함을 보여주는 수치적 증거를 제공하기 위해, 이는 이전의 경계를 향상시키기 위함이다.

제안 방법

• 유리 근사에 대한 지수 합을 제어하기 위해 자기유사 측도의 $L^1$-푸리에 감쇠를 분석한다.
• 에르도스-카한 유형의 추론을 적용하여 $L^2$-형 추정을 점별 등분포 결과로 전환한다.
• 적절히 선택된 수열 $Q_j = [e^{j\lambda}]$를 사용한 수정된 보렐-칸텔리 보조정리를 통해 양의 측도를 가진 극한 상한 집합을 보여준다.
• 매끄러운 특성 함수의 근사화를 활용하여 지수 합의 $L^1$-노름을 푸리에 계수를 통해 유계로 제한한다.
• 측도 제어를 가능하게 하는 핵심 추정: $k \leq Q^{1-c}$일 경우 $\int_{\{f_Q \geq k\}} f_Q d\mu \ll \frac{1}{k \log \log Q}$.
• 모든 측도 분지에 걸쳐 균일성 추론을 적용하여, 양의 측도 결과에서 전체 측도 결과로의 향상 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 $p$에 대해 매우 잘 근사 가능한 수의 집합이 중간-$p$번째 칸토어 집합과 교차하며, 전체 하우스도르프 차원을 가질 수 있는가?
• RQ2 비균일 감쇠를 가지는 자기유사 측도에 대해 칸친 정리의 수렴 부분을 확장할 수 있는가?
• RQ3 결함 있는 디지트 집합에 대해 $K \cap W_{>1}$의 하우스도르프 차원이 $\dim_{\mathrm{H}}K$와 같은가?
• RQ4 측도론적 등분포가 성립하는 데 있어 $p$의 정확한 임계값은 무엇인가?
• RQ5 자기유사 측도의 푸리에 감쇠를 활용하여 메트릭 딜로판트 대수 approximation 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $p = 15$에 대해 추측 A(레베슬리, 살프, 벨라니)가 성립한다: $\dim_{\mathrm{H}}(K_{15} \cap W_{>1}) = \dim_{\mathrm{H}}K_{15}$.
• 추측 C(K라인보크-린덴스트라우스-베이스)의 수렴 부분이 $\mu_{15}$에 대해 성립한다: $\sum_q \psi(q) < \infty$이면 $\mu_{15}(W(\psi)) = 0$.
• $p \geq 15$일 경우 측도 $\mu_p$는 칸친 정리의 수렴 부분을 만족하며, 이는 자기유사 측도의 일정한 클래스로 결과를 확장한다.
• 수치 분석을 통해 주요 결론에 대해 $p > 10^7$이 충분하며, 대부분의 결과에 대해 $p \geq 15$가 충분함을 보여준다.
• 논문은 핵심 추정 $\int_{\{f_Q \geq k\}} f_Q d\mu \ll \frac{1}{k \log \log Q}$을 증명하며, 이는 전체 측도 결과를 위한 보렐-칸텔리 추론을 가능하게 한다.
• 해당 방법은 적절한 감쇠 조건 하에서, $\mu$-측도로 본 유리점의 $\delta$-근접 이웃집합의 행동이 르베그 측도와 유사하다는 점에서 유리점의 등분포를 확립한다.