[논문 리뷰] Rational spectral methods for PDEs involving fractional Laplacian in unbounded domains

Tao Tang, Li-Lian Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 07.

Numerical methods in inverse problems인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비정수 라플라스 연산자를 갖는 비정수 PDE를 무한정의 영역에서 풀기 위해 수정된 사영 Gegenbauer 함수(MMGFs)를 사용하는 유리 스펙트럴 방법을 제안한다. 수정된 Bessel 함수를 통해 MMGFs의 명시적 푸리에 변환 및 비정수 라플라스 연산자 공식을 유도함으로써, 저자들은 비정수 소볼레프 공간에서 최적 수렴 속도를 갖는 스펙트럴-갈레르킨 및 콘테이션 방법을 구축하였으며, 수치 실험에서 헤르미트 기반 방법보다 뛰어난 정확도를 입증하였다.

ABSTRACT

Many PDEs involving fractional Laplacian are naturally set in unbounded domains with underlying solutions decay very slowly, subject to certain power laws. Their numerical solutions are under-explored. This paper aims at developing accurate spectral methods using rational basis (or modified mapped Gegenbauer functions) for such models in unbounded domains. The main building block of the spectral algorithms is the explicit representations for the Fourier transform and fractional Laplacian of the rational basis, derived from some useful integral identites related to modified Bessel functions. With these at our disposal, we can construct rational spectral-Galerkin and direct collocation schemes by pre-computing the associated fractional differentiation matrices. We obtain optimal error estimates of rational spectral approximation in the fractional Sobolev spaces, and analyze the optimal convergence of the proposed Galerkin scheme. We also provide ample numerical results to show that the rational method outperforms the Hermite function approach.

연구 동기 및 목표

• 무한정의 영역에서 천천히 감쇠하는 해를 갖는 비정수 PDE에 대한 효율적인 스펙트럴 방법의 부족을 해결한다.
• 해가 대수적 감쇠를 보일 경우 전통적인 헤르미트 및 라귀에르 다항식의 근사화 능력에 한계가 있음을 극복한다.
• 비정수 라플라스 문제에 특화된 유리 기저 함수(수정된 사영 Gegenbauer 함수)를 기반으로 강력한 스펙트럴 프레임워크를 개발한다.
• 제안된 유리 스펙트럴-갈레르킨 방법에 대해 비정수 소볼레프 공간에서 최적의 오차 추정치를 수립한다.
• 광범위한 수치 비교를 통해 유리 방법이 헤르미트 콘테이션 방법보다 뛰어난 성능을 보임을 입증한다.

제안 방법

• Jacobi 다항식을 유리 매핑을 통해 변형하여 유도된 수정된 사영 Gegenbauer 함수(MMGFs)를 기저 함수로 사용한다.
• 제2종 수정 Bessel 함수를 포함하는 적분 항등식을 활용해 MMGFs의 푸리에 변환에 대한 명시적 해석적 표현을 유도한다.
• 이 푸리에 변환 공식을 이용해 기저 함수의 비정수 라플라스 연산자를 계산하고, 비정수 미분 행렬을 구성한다.
• 사전에 계산된 미분 행렬과 주파수 영역에서의 해법을 통해 유리 스펙트럴-갈레르킨 및 직접 콘테이션 방법을 구성한다.
• 해의 푸리에 변환 및 역변환을 효율적으로 계산하기 위해 텐서 곱 적분 규칙을 구현한다.
• 해의 물리적 영역에서의 재구성은 동일한 공식을 사용해 정방향 변환과 동일한 분석 공식을 활용해 역푸리에 변환을 계산함으로써 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 사영 Gegenbauer 함수를 기반으로 한 유리 스펙트럴 방법이 천천히 감쇠하는 해를 갖는 비정수 PDE의 무한정의 영역에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 MMGFs의 푸리에 변환과 비정수 라플라스 연산자는 어떻게 행동하는가? 특수 함수를 사용해 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 전통적인 헤르미트 함수 방법에 비해 정확도와 수렴 속도 측면에서 어느 정도 뛰어나게 되는가?
• RQ4 제안된 방법은 효율적인 해법기 및 조절기와 함께 고차원 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ5 형태 매개변수 λ는 다양한 해 감쇠 프로파일에 맞게 MMGFs의 근사 성질을 조정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 유리 스펙트럴-갈레르킨 방법은 비정수 소볼레프 공간에서 최적 수렴 속도를 달성하며, 오차 한계가 이론적 기대와 일치한다.
• 수정된 Bessel 함수를 사용해 MMGFs의 푸리에 변환에 대한 명시적 공식을 유도함으로써 비정수 라플라스 연산자의 정확한 계산이 가능해졌다.
• MMGF 콘테이션 방법은 1차원 및 2차원 수치 예제에서 헤르미트 콘테이션 방법보다 정확도와 수렴 속도에서 뛰어나게 성능을 발휘한다.
• f(x,y) = exp(−√(x²+y²))인 2차원 테스트 케이스에서 λ=0.5일 때 MMGF 방법이 헤르미트 방법과 λ=0인 MMGF 방법보다 더 높은 정확도를 달성하였다.
• 역변환에 대한 의존 없이 직접적인 미분 행렬 설정으로 인해 비선형 문제에 대해서도 방법이 강건하다.
• MMGFs의 역푸리에 변환은 정방향 변환과 동일한 분석 공식을 사용해 계산할 수 있어 효율적인 해 재구성 기능을 제공한다.