[논문 리뷰] Rational stochastic languages

François Denis, Yann Esposito|arXiv (Cornell University)|2006. 02. 27.

semigroups and automata theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℚ, ℝ, ℚ⁺, 또는 ℝ⁺와 같은 반체에서 매개변수를 갖는 다중도 자동기로 생성된 자유 모노이드 위의 확률 분포인 유리 스토하스틱 언어를 체계적으로 연구한다. ℝ 또는 ℚ 위에서의 유리 스토하스틱 언어는 유한 생성 잔여 부분반모듈을 갖는다. 이는 확률 자동기와의 구조적 연결을 가능하게 하며, ℝ⁺ 또는 ℚ⁺ 위에서는 그렇지 않을 수 있다. 이는 일반 확률 자동기의 추론 한계와 확률 결정적 및 잔여 자동기의 성공을 설명한다.

ABSTRACT

The goal of the present paper is to provide a systematic and comprehensive study of rational stochastic languages over a semiring K \in {Q, Q +, R, R+}. A rational stochastic language is a probability distribution over a free monoid Σ^* which is rational over K, that is which can be generated by a multiplicity automata with parameters in K. We study the relations between the classes of rational stochastic languages S rat K (Σ). We define the notion of residual of a stochastic language and we use it to investigate properties of several subclasses of rational stochastic languages. Lastly, we study the representation of rational stochastic languages by means of multiplicity automata.

연구 동기 및 목표

• 다양한 반체 ℚ, ℝ, ℚ⁺, ℝ⁺ 위에서의 유리 스토하스틱 언어에 대한 종합적인 이론적 프레임워크를 제공하는 것.
• 특히 문법 유추의 맥락에서, 유리 스토하스틱 언어와 확률 자동기 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 잔여 언어(도함수)가 유리성과 표현의 유한성의 특징을 규명하는 데서 수행하는 역할을 조사하는 것.
• 유리 값의 스토하스틱 언어가 항상 ℚ⁺ 또는 ℝ⁺의 계수를 갖는 다중도 자동기로 표현 가능한지, 그리고 그러한 표현이 항상 가능한지 여부를 판단하는 것.

제안 방법

• 반체 K ∈ {ℚ, ℝ, ℚ⁺, ℝ⁺} 위의 형식적 멱급수를 사용하여, 계수가 K에 속하는 다중도 자동기로 표현 가능한 언어로 유리 스토하스틱 언어를 정의한다.
• 비어 있지 않은 확률을 갖는 단어 u에 대해 잔여 언어 u⁻¹p(w) = p(uw)/p(uΣ*)를 정의하고, 잔여 언어가 자체적으로도 스토하스틱 언어임을 보여준다.
• 스토하스틱 언어 p의 모든 잔여 언어의 스칼라 곱의 집합으로서 잔여 부분반모듈 [Res(p)]를 정의하고, p가 유리임과 [Res(p)]가 유한 생성임이 동치임을 증명한다.
• 형식적 멱급수와 반모듈 이론을 적용하여 유리 스토하스틱 언어 클래스 간의 폐쇄성 및 포함 관계를 분석한다.
• 유한한 수의 잔여 언어 집합으로부터 다중도 자동기를 구성함으로써, K ∈ {ℝ⁺, ℚ⁺}일 때 이것이 확률 결정 자동기(PDA)와 동치임을 보여준다.
• 패투 확장 개념을 사용하여 다양한 반체 위에서의 유리성 간 비교를 수행하고, ℝ는 ℚ의 패투 확장이지만 ℝ⁺는 ℚ⁺의 패투 확장이 아니라고 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝ⁺ 위에서 정의된 값이 ℚ⁺에 속하는 모든 유리 스토하스틱 언어는 ℚ⁺ 위에서도 유리인가?
• RQ2 유리 값의 스토하스틱 언어는 항상 ℚ⁺의 계수를 갖는 다중도 자동기로 표현 가능한가?
• RQ3 ℝ 또는 ℚ 위에서의 유리 스토하스틱 언어의 잔여 부분반모듈은 항상 잔여 언어의 유한 기저를 갖는가?
• RQ4 다양한 반체 위에서의 유리 스토하스틱 언어 클래스 간의 포함 관계 및 폐쇄성에 있어 상호 관계는 무엇인가?
• RQ5 ℝ⁺ 또는 ℚ⁺ 위에서의 유리 스토하스틱 언어가 잔여 언어를 통해 항상 유한 표현을 갖는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 반체 ℝ는 스토하스틱 언어에서 ℚ의 패투 확장이다: ℝ 위에서 정의되고 ℚ 값에 속하는 유리 스토하스틱 언어는 ℚ 위에서도 유리이다.
• 반체 ℝ⁺는 ℚ⁺의 패투 확장이 아니다: ℝ⁺ 위에서 정의되고 ℚ⁺ 값에 속하는 유리 스토하스틱 언어 중 ℚ⁺ 위에서는 유리가 아닌 것이 존재한다.
• 유리 스토하스틱 언어 p의 잔여 부분반모듈 [Res(p)]는 p가 유리일 때이고 그때에만 유한 생성된다. 이는 K = ℝ 또는 ℚ일 때 성립한다.
• K ∈ {ℝ⁺, ℚ⁺}일 때, 유리 스토하스틱 언어가 유한한 수의 잔여 언어를 갖는 것은 그것이 확률 결정 자동기(PDA)에 의해 생성될 때에만 성립한다.
• ℝ⁺ 위에서의 유리 스토하스틱 언어 클래스는 확률 자동기(PA)에 의해 생성되는 언어 클래스와 동일하며, 마찬가지로 ℚ⁺의 경우에도 동일하다.
• ℝ(또는 ℚ) 위에서의 유리 스토하스틱 언어 클래스는 잔여 자동기(PRA)에 의해 생성되는 언어 클래스와 동일하며, 이 클래스는 또한 유한 생성 잔여 부분반모듈을 갖는 언어의 클래스와 동일하다.