[논문 리뷰] Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups

Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 q ≥ 2인 Baumslag-Solitar 군 BS(1, q)에서 합리적 부분집합의 소속성 문제가 결정 가능하고, PSPACE-완전하다는 것을 증명한다. 논문은 군 원소의 표본 확장(PE) 표현 방식을 도입하고, BS(1, q)의 모든 합리적 부분집합이 PE-정규임을 증명함으로써, 정규 언어 기법을 이용한 소속성, 부울 조합의 공집합 여부, 유한지수 부분군 식별에 대한 효과적인 결론 도출이 가능해진다.

ABSTRACT

We consider the rational subset membership problem for Baumslag-Solitar groups. These groups form a prominent class in the area of algorithmic group theory, and they were recently identified as an obstacle for understanding the rational subsets of $ ext{GL}(2,\mathbb{Q})$. We show that rational subset membership for Baumslag-Solitar groups $ ext{BS}(1,q)$ with $q\ge 2$ is decidable and PSPACE-complete. To this end, we introduce a word representation of the elements of $ ext{BS}(1,q)$: their pointed expansion (PE), an annotated $q$-ary expansion. Seeing subsets of $ ext{BS}(1,q)$ as word languages, this leads to a natural notion of PE-regular subsets of $ ext{BS}(1, q)$: these are the subsets of $ ext{BS}(1,q)$ whose sets of PE are regular languages. Our proof shows that every rational subset of $ ext{BS}(1,q)$ is PE-regular. Since the class of PE-regular subsets of $ ext{BS}(1,q)$ is well-equipped with closure properties, we obtain further applications of these results. Our results imply that (i) emptiness of Boolean combinations of rational subsets is decidable, (ii) membership to each fixed rational subset of $ ext{BS}(1,q)$ is decidable in logarithmic space, and (iii) it is decidable whether a given rational subset is recognizable. In particular, it is decidable whether a given finitely generated subgroup of $ ext{BS}(1,q)$ has finite index.

연구 동기 및 목표

• q ≥ 2인 Baumslag-Solitar 군 BS(1, q)에서 합리적 부분집합의 소속성 문제가 결정 가능한지 규명하는 것.
• GL(2, Q)에서 합리적 부분집합이 BS(1, q) 부분군의 존재로 인해 방해받는 문제를 극복하는 것.
• BS(1, q)의 원소를 표현하기 위한 새로운 단어 표현 방식인 표본 확장(PE)을 도입하고, PE-정규 부분집합을 정의하는 것 — 즉, PE 표현이 정규 언어를 이루는 부분집합.
• BS(1, q)의 모든 합리적 부분집합이 PE-정규임을 증명함으로써, 닫힘 성질 및 결정 가능성 결과를 확립하는 것.
• PE-정규 프레임워크를 적용하여, 인식 가능성, 유한지수 부분군, 합리적 부분집합의 부울 조합의 결정 가능성을 규명하는 것.

제안 방법

• BS(1, q)에서 군 원소의 표본 확장(PE)을 도입하여, 기수 a 표현에서 '1'의 위치를 나타내는 마커가 첨부된 q진 전개로 원소를 표현하는 것.
• PE-정규 부분집합을 정의함 — 즉, BS(1, q)의 부분집합 중 PE 표현이 정규 언어를 이루는 부분집합.
• 군 자동기의 실행을 분석하고, 얇은 실행과 왼쪽으로 되돌아오는 사이클로 분해함으로써, BS(1, q)의 모든 합리적 부분집합이 효과적으로 PE-정규임을 증명하는 것.
• 정규 언어의 닫힘 성질을 활용하여, PE-정규 부분집합이 부울 대수를 이룬다는 것을 보이고, 공집합 여부 및 보완의 결정 가능성을 보장하는 것.
• PE-정규 집합의 k-주기성을 테스트하기 위한 효과적인 전이를 구성함으로써, Z[1/q] ⋊ Z 성분에서의 주기성과 인식 가능성의 연관성을 연결하는 것.
• 주어진 합리적 부분집합이 인식 가능한지 여부를 결정하는 문제를, 특정한 정규 언어가 a* 상에서 공백이 아닌지 확인하는 것으로 환원함 — 주기성 테스트 집합의 효과적 정규성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q ≥ 2인 BS(1, q)에서 합리적 부분집합의 소속성 문제가 결정 가능한가? 그리고 그 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 BS(1, q)의 합리적 부분집합은 표본 확장(PE)을 통해 정규 언어로 효과적으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 BS(1, q)에서 합리적 부분집합의 부울 조합은 결정 가능한가?
• RQ4 주어진 BS(1, q)의 합리적 부분집합이 인식 가능한지 여부는 결정 가능한가?
• RQ5 BS(1, q)의 유한 생성 부분군이 유한지수를 가지는지 여부는 결정 가능한가?

주요 결과

• q ≥ 2인 BS(1, q)에서 합리적 부분집합의 소속성 문제는 결정 가능하고, PSPACE-완전하다.
• BS(1, q)의 모든 합리적 부분집합은 효과적으로 PE-정규이다. 즉, 표본 확장이 정규 언어를 이룬다.
• BS(1, q)에서 합리적 부분집합의 부울 조합의 공집합 여부는 결정 가능하다.
• BS(1, q)의 고정된 합리적 부분집합에 대한 소속성 문제는 로그 시간 복잡도로 결정 가능하다.
• 주어진 BS(1, q)의 합리적 부분집합이 인식 가능한지 여부는 결정 가능하며, 이는 Z[1/q] 성분에서의 주기성과 동치이다.
• BS(1, q)의 유한 생성 부분군이 유한지수를 가지는지 여부는 결정 가능하며, 이는 부분군이 인식 가능할 때와 동치이다.