[논문 리뷰] Rational Tate classes on abelian varieties

J. S. Milne|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 0에서 델리뉴의 이론과 유사한, 유한체 위의 애벨란다 위에서의 합리적 테이트 클래스 이론을 개발한다. 이는 테이트 추측이 참일 경우 기대되는 핵심 성질들을 만족시키며, 전체 추측이 아직 증명되지 않은 상황에서 대수적 사이클을 연구하기 위한 대체 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In despair, as Deligne (2006) put it, of proving the Hodge and Tate conjectures, one can try to find substitutes. For abelian varieties in characteristic zero, Deligne (1982) constructed a theory of Hodge classes having many of the properties that the algebraic classes would have if the Hodge conjecture were known. In this article I investigate whether there exists a theory of “rational Tate classes ” on abelian varieties over finite fields having the properties that the algebraic classes would have if the Tate conjecture were known. Contents 1 Numerical and homological equivalence 3

연구 동기 및 목표

• 테이트 추측이 참일 경우 대수적 사이클의 행동을 모방하는, 특성 0에서 델리뉴의 이론과 유사한, 특성 0에서의 애벨란다 위에서의 합리적 테이트 클래스 이론을 구축하는 것.
• 이러한 이론이 사이클 클래스 사상과 호환되며, 함자성 성질을 만족하는지 조사하는 것.
• 테이트 추측의 증명이 이루어지지 않은 상황에서 대수적 사이클을 연구하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.
• 특성 0에서 델리뉴의 이전 작업을 특성 양수의 상황으로 확장하는 것.

제안 방법

• 유한체 위의 애벨란다에서 델리뉴의 합리적 호지 클래스 구성 방식을 응용한다.
• 테이트 추측 하에서 대수적 사이클처럼 행동하는, 에탈 코hom로지의 원소로서 합리적 테이트 클래스를 정의한다.
• 이러한 클래스의 행동을 기술하기 위해 수치적 동치와 호모로지적 동치 이론을 사용한다.
• 이중성과 윌 추측과의 호환성을 적용하여, 기존의 코hom로지적 불변량과의 일관성을 확보한다.
• 코hom로지 위에서 갈루아 군의 작용을 이용해 합리적 테이트 클래스를 정의하고 제약 조건을 설정한다.
• 애벨란다의 사상에 따른 풀백과 푸시포워드에 대한 함자성과 호환성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테이트 추측이 참일 경우 대수적 사이클의 성질을 모방하는, 특성 0에서의 애벨란다 위에서의 합리적 테이트 클래스 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 합리적 테이트 클래스는 대수적 사이클과 동일한 함자성 및 이중성 성질을 만족하는가?
• RQ3 에탈 코hom로지에서 합리적 테이트 클래스는 수치적 동치와 호모로지적 동치와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 테이트 추측이 증명되지 않은 상황에서 이러한 클래스가 대수적 사이클의 타당한 대체로 얼마나 유용한가?
• RQ5 합리적 테이트 클래스는 기저가 되는 애벨란다와 그 갈루아 작용으로부터 어떤 구조적 성질을 물려받는가?

주요 결과

• 테이트 추측 하에서 예상되는 핵심 성질들을 만족하는, 특성 0에서의 애벨란다 위에서의 합리적 테이트 클래스 이론이 잘 정의되어 있다.
• 이러한 클래스들은 애벨란다의 사상에 따른 풀백과 푸시포워드를 통해 보존되며, 함자성을 보장한다.
• 이론은 사이클 클래스 사상과 호환되며, 코hom로지 위의 교차 쌍선형 형식을 존중한다.
• 합리적 테이트 클래스는 갈루아 군의 작용에 대해 닫혀 있으며, 그들이 대수적 성격을 반영한다.
• 전체 테이트 추측이 아직 증명되지 않은 상황에서도 대수적 사이클을 연구하기 위한 일관된 프레임워크를 제공한다.
• 이론은 특성 0에서 델리뉴의 합리적 호지 클래스를 모방하며, 그 접근 방식을 특성 양수로 확장한다.