[논문 리뷰] Rational torsion on the generalized Jacobian of a modular curve with cuspidal modulus

Takao Yamazaki, Yifan Yang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p \geq 5$가 소수일 때, $N = p^n$인 경우 모듈라 곡선 $X_0(N)$의 임계 모듈러스를 가진 일반화된 야코비안 $J_0(N)$의 합리적 토르션 부분군을 조사한다. 모듈라 단위와 약수 클래스 군 분석을 통해 $J_0(p)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$가 순서 2인 순환군임을 보이고, 고차항에 대해서는 $6p$-토르션을 제외하고 토르션이 자명함을 밝혀, 고전적 야코비안의 더 큰 토르션과 뚜렷하게 대비된다. 주요 기여는 일반화된 야코비안 구성에 의해 합리적 토르션의 급격한 감소이다.

ABSTRACT

We consider the generalized Jacobian $\widetilde{J}_0(N)$ of a modular curve $X_0(N)$ with respect to a reduced divisor given by the sum of all cusps on it. When $N$ is a power of a prime $\geq 5$, we exhibit that the group of rational torsion points $\widetilde{J}_0(N)(\mathbb{Q})_{\mathrm{Tor}}$ tends to be much smaller than the classical Jacobian.

연구 동기 및 목표

• 모듈라 곡선에 임계 모듈러스를 가진 일반화된 야코비안 $\widetilde{J}_0(N)$의 합리적 토르션 부분군의 구조를 이해하는 것.
• 특히 $N = p^n$, $p \geq 5$일 때, $\widetilde{J}_0(N)$의 합리적 토르션과 고전적 야코비안 $J_0(N)$의 합리적 토르션을 비교하는 것.
• 토르션 부분군 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$가 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$에 비해 자명하거나 작다는 것을 밝혀내는 것, 특히 알려진 추측을 기반으로 하는 것.
• 모듈라 단위와 약수 클래스가 일반화된 야코비안에서 토르션을 통제하는 데 미치는 역할을 분석하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $X_0(N)$ 위의 모든 임계점의 합으로 주어진 모듈러스를 사용하여 일반화된 야코비안을 구성하며, 이를 $\widetilde{J}_0(N)$로 표기한다.
• 일반화된 야코비안과 고전적 야코비안, 약수 클래스 군을 연결하는 정확한 수열을 통해 합리적 토르션 점의 군을 분석한다.
• 모듈라 단위에서 유도된 래티스 $\Lambda \otimes \mathbb{Q}$로의 사상 $\Delta$의 단사성을 기반으로 하는 방법을 사용한다.
• 특수한 경우의 토르션을 계산하기 위해, $N = pq$, $p,q \equiv 1 \mod 12$일 때 임계 약수 클래스 군 $\mathscr{C}(N)$의 순서를 계산하는 타카기의 공식을 적용한다.
• 모듈라 단위의 근처에서의 주요 계수를 사용하여 약수 클래스 사상의 상을 계산하고, $J_0(N)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$로 향하는 사상의 핵을 결정한다.
• 사상 $\widetilde{\Delta}$와 $\widetilde{\delta}$를 포함하는 교환도형을 사용하여 $\Delta$의 상의 여부가 $\operatorname{Coker}(\widetilde{\Delta})$에 단사적으로 매핑됨을 보이고, 이로써 토르션 순서의 상한을 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $p \geq 5$에 대해, 일반화된 야코비안 $\widetilde{J}_0(p)$의 합리적 토르션 부분군은 고전적 야코비안 $J_0(p)$의 것과 어떻게 비교되는가?
• RQ2 $N = p^n$, $p \geq 5$일 때, 일반화된 야코비안의 합리적 토르션 부분군 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$는 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$에 비해 현저히 작게 되는가?
• RQ3 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$이라는 가정 하에, $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$의 구조는 어떠한가?
• RQ4 모듈라 단위와 그 약수 클래스를 사용하여 일반화된 야코비안의 토르션 부분군을 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 소수 $p \geq 5$에 대해 $N = p$일 때, 합리적 토르션 부분군 $\widetilde{J}_0(p)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$는 순서 2인 순환군이다.
• $p \geq 5$이고 $p \not\equiv 11 \mod 12$일 때, 일반화된 야코비안의 합리적 토르션은 $2p$-토르션까지 자명하다.
• $p \not\equiv 11 \mod 12$라는 조건 없이, 합리적 토르션은 $6p$-토르션까지 자명하다.
• $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$이라는 추측 하에, $n$ 이외일 때 토르션 부분군 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$는 $\prod_{i=0}^{(n/2)-1} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z}) \times \prod_{i=1}^{n/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z})$와 동형이다.
• $n$ 이면, 토르션 부분군은 $\prod_{i=0}^{(n-1)/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z}) \times \prod_{i=1}^{(n-1)/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z})$와 동형이며, 이는 구조화되어 있지만 작은 토르션 군임을 보여준다.
• $p,q \equiv 1 \mod 12$인 $N = pq$일 때, 사상 $\mathscr{C}(pq) \to J_0(pq)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$의 핵은 순서 $c = \frac{(p-1)(q-1)}{24}$인 순환군이며, $D_1 - D_2 - D_3$의 계열에 의해 생성된다.