[논문 리뷰] Rationality and Fusion Rules of Exceptional W-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Jethro van Ekeren|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 68인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 허용 가능한 아핀 버텍스 대수에서 해밀토니안 축소를 통해 유도된 광범위한 예외적 W-대수들에 대해 특성의 모듈라 불변성과 유리성의 증명을 한다. 이는 비주얼(nilpotent) 원소에 대해 연관된 첫 번째 유리 W-대수의 예를 제공하며, 그들의 S-행렬과 융합 규칙을 계산하고, A형 예외적 W-대수와 단순형 타입에서의 라이스(리스) 하위정규 W-대수에 대해 카크-바키모 쟁의를 확인한다.

ABSTRACT

First, we prove the Kac-Wakimoto conjecture on modular invariance of characters of exceptional affine W-algebras. In fact more generally we prove modular invariance of characters of all lisse W-algebras obtained through Hamiltonian reduction of admissible affine vertex algebras. Second, we prove the rationality of a large subclass of these W-algebras, which includes all exceptional W-algebras of type A and lisse subregular W-algebras in simply laced types. Third, for the latter cases we compute S-matrices and fusion rules. Our results provide the first examples of rational W-algebras associated with non-principal distinguished nilpotent elements, and the corresponding fusion rules are rather mysterious.

연구 동기 및 목표

• 예외적 W-대수에 대해 특성의 모듈라 불변성에 관한 카크-바키모 쟁의를 증명하기 위해.
• 허용 가능한 수준에서 해밀토니안 축소를 통해 유도된 W-대수의 광범위한 부분집합의 유리성 확립하기 위해.
• 단순형 타입에서의 라이스 하위정규 W-대수와 A형 예외적 W-대수에 대해 S-행렬과 융합 규칙 계산하기 위해.
• 비주얼(nilpotent) 원소에 연관된 유리 W-대수의 첫 번째 체계적인 구성 제공하기 위해.
• 이러한 W-대수의 라몬(ramond) 꼬임 Zhu 대수의 단순성 보장하여 추적 함수의 모듈라 불변성 확보하기 위해.

제안 방법

• 레벨 $k = -h^\vee + p/q$에서 허용 가능한 아핀 버텍스 대수에서 해밀토니안 축소를 이용해 W-대수를 구성하기 위해.
• 주요 및 서로소 허용 가능한 가중치 이론을 적용하여 기약 모듈의 적합성 조건 분석하기 위해.
• 라몬 꼬임 Zhu 대수 $A(\mathscr{W})$의 계산 및 그의 단순성 증명하기 위해.
• 추적 함수 $S_{\mathbf{L}_i}(\tau \mid u) = \operatorname{Tr}_{\mathbf{L}_i}(u_0 q^{L_0 - c/24})$를 활용하여 $SL_2(\mathbb{Z})$에 대한 모듈라 불변성 확립하기 위해.
• 비자명한 짝수 중량을 가진 원소 $f$의 좋은 짝수 중량을 이용하여 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$의 구조를 $\mathfrak{g}_0$의 적합한 표현과 연결하기 위해.
• 모듈러 표현 이론과 $SL_2(\mathbb{Z})$ 작용을 이용한 표현 이론을 통해 S-행렬과 융합 규칙의 명시적 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예외적 W-대수의 특성은 $SL_2(\mathbb{Z})$에 대해 모듈라 불변인가?
• RQ2 허용 가능한 수준과 예외적 쌍 $(f,q)$에 대해 단순 몐드 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$는 유리적이며 라이스인가?
• RQ3 단순형 타입에서의 라이스 하위정규 W-대수와 A형 예외적 W-대수에 대해 융합 규칙은 무엇인가?
• RQ4 비주얼(nilpotent) 원소에 연관된 W-대수에 대해 유리성이 확립될 수 있는가?
• RQ5 S-행렬과 $SL_2(\mathbb{Z})$의 모듈라 표현은 이러한 W-대수의 모듈러 카테고리에 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 모든 $u \in \mathscr{W}$ 및 모든 기약 라몬 꼬임 모듈 $\mathbf{L}_i$에 대해 추적 함수 $S_{\mathbf{L}_i}(\tau \mid u)$의 모듈라 불변성이 증명되었다.
• 모든 $\mathscr{W} = \mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$에 대해 라몬 꼬임 Zhu 대수 $A(\mathscr{W})$는 단순하다. 여기서 $k = -h^\vee + p/q$는 허용 가능한 수준이며 $f \in \mathbb{O}_q$이다.
• 모든 $[\Pr^k_{\mathbb{O}_q}]$가 $\mathfrak{g}_0$에 대해 적합할 때, $f$가 좋은 짝수 중량을 가지며 $\mathscr{W}_k(\mathfrak{g},f)$의 유리성과 라이스 성질이 확립되었다.
• $\mathfrak{g} = E_7$, $k = -135/8$일 때, 버텍스 대수 $V_7$는 13개의 기약 모듈을 가지며, 융합 규칙은 $13 \times 13$ 행렬 $F_i$에 의해 표현된다.
• 모듈 $M_{12}$는 순서 2의 단순 전류이며, conformal 차원 $3/2$를 가지며, 스펙트럼의 무게에 대해 다이어그램 자동형사상 $\sigma$로 작용한다.
• 양자 차원 계산: $\operatorname{qdim}([5_+]) = \zeta^8 + \zeta^6 + \zeta^5 + \zeta^3 + 1$ 및 $\operatorname{qdim}([5_-]) = \zeta^8 + \zeta^6 + \zeta^5 + \zeta^3 + 1$, 여기서 $\zeta = e^{2\pi i/9}$이다.