[논문 리뷰] RCF2: Evaluation and Consistency

Michael Pfender|ArXiv.org|2008. 09. 23.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식환 $\mathbb{N}[\omega]$ 내의 순서수 복잡도를 사용하여 원시재귀(PR) 함수의 구성적 평가 프레임워크를 제안하며, 비무한 강하 스키마를 통한 강화된 이론 $\pi_O\mathbf{R} = \mathbf{PR_A} + (\pi_O)$에 대해 종료 조건에 기반한 내부 타당성과 자기일관성을 확립한다. 주요 기여는 $\pi_O\mathbf{R}$가 자신의 내부 일관성 공식 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k)$를 구성적 평가와 약한 순서수 강하 공리에 의해 도출할 수 있음을 증명한 데 있다.

ABSTRACT

We construct here an iterative evaluation of all PR map codes: progress of this iteration is measured by descending complexity within "Ordinal" O := N[ω] of polynomials in one indeterminate, ordered lexicographically. Non-infinit descent of such iterations is added as a mild additional axiom schema (π_O) to Theory PR_A = PR+(abstr) of Primitive Recursion with predicate abstraction, out of forgoing part RCF 1. This then gives (correct) "on"-termination of iterative evaluation of argumented deduction trees as well, for theories PR_A+(π_O). By means of this constructive evaluation the Main Theorem is proved, on Termination-conditioned (Inner) Soundness for such theories, Ordinal O extending N[ω]. As a consequence we get Self-Consistency for these theories, namely derivation of its own free-variable Consistency formula. As to expect from classical setting, Self-Consistency gives (unconditioned) Objective Soundness. Termination-Conditioned Soundness holds "already" for PR_A, but it turns out that at least present derivation of Consistency from this conditioned Soundness depends on schema (π_O) of non-infinit descent in Ordinal O := \N[ω].

연구 동기 및 목표

• 원시재귀에 대한 자유변수 이론인 $\mathbf{PR_A}$를 확장한 강화된 이론 $\pi_O\mathbf{R}$에 대해 구성적 종료성과 타당성을 확립하기 위해.
• 구성적 평가 과정을 통해 $\pi_O\mathbf{R}$의 내부 일관성 공식 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k)$를 증명하여 $\pi_O\mathbf{R}$의 일관성을 해결하기 위해.
• 비무한 강하 스키마 $\tilde{\pi}_O$가 $\mathbf{PR_A}$ 내에서 자기일관성을 도출하는 데 필수적인지 여부를 조사하기 위해.
• 약한 산술 이론에서 종료 조건에 기반한 타당성, 자기일관성, 객관적 타당성 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• $\pi_O\mathbf{R}$가 $\mathbf{PR_A}$에 대해 상대적으로 일관성 있는지 여부를 분석하고, 복잡도 제어된 반복에서의 무한 강하를 고려하여 조사하기 위해.

제안 방법

• PR 사상의 추론 트리에 대한 반복적 평가 $\varepsilon$를 구성하며, 체계적 순서에 따라 순서수 $O = \mathbb{N}[\omega]$ 내에서 복잡도가 감소하는 방식으로 진행도를 측정한다.
• 비무한 강하 스키마 $\pi_O$를 도입하여 $\mathbf{PR_A}$를 약간 강화함으로써 $O$ 내에 무한 강하 사슬이 존재하지 않도록 보장한다.
• 복잡도 제어 반복(CCI) 구조를 PR 복잡도 함수 $c: A \to O$ 와 전행 함수 $p: A \to A$를 통해 정의하며, 강하 및 정적 조건을 만족시킨다.
• 대우 형태인 $\tilde{\pi}_O$를 사용하여, 어떤 술어 $\psi(a)$가 무한 강하를 암시한다면 반드시 거짓이어야 하므로 종료를 강제한다.
• 구성적 평가 $\varepsilon$를 변환된 추론 트리에 적용하여 $\mathbf{PR_A}$ 및 $\pi_O\mathbf{R}$에 대해 종료 조건에 기반한 타당성을 증명한다.
• 비무한 강하를 차단하기 위해 $\tilde{\pi}_O$ 스키마를 활용하여, 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $\pi_O\mathbf{R} \vdash \neg \mathrm{Prov}_{\pi_O\mathbf{R}}(k, \ulcorner\mathrm{false}\urcorner)$를 도출함으로써 $\pi_O\mathbf{R}$의 자기일관성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 일관성 공식 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k)$는 반복적 평가와 순서수 강하를 통해 $\pi_O\mathbf{R}$ 내에서 구성적으로 도출될 수 있는가?
• RQ2 비무한 강하 스키마 $\tilde{\pi}_O$는 $\pi_O\mathbf{R}$의 자기일관성을 증명하는 데 필수적인가, 아니면 $\mathbf{PR_A}$만으로도 도출될 수 있는가?
• RQ3 $\mathbf{PR_A}$에 대해 종료 조건에 기반한 내부 타당성이 자기일관성을 암시하는가? 만약 그렇지 않다면 추가로 필요한 공리들은 무엇인가?
• RQ4 $\pi_O\mathbf{R}$의 일관성은 $\mathbf{PR_A}$에 대해 상대적으로 확립될 수 있는가? 특히 복잡도 제어된 반복에서의 무한 강하를 분석함으로써 조사하기 위해.
• RQ5 $\pi_O\mathbf{R}$의 객관적 타당성은 자기일관성으로부터 도출될 수 있는가? 그리고 이는 내부 모순의 부재를 암시하는가?

주요 결과

• 이론 $\pi_O\mathbf{R} = \mathbf{PR_A} + (\pi_O)$는 자신의 내부 일관성 공식 $\mathrm{Con}_{\pi_O\mathbf{R}}(k) = \neg \mathrm{Prov}_{\pi_O\mathbf{R}}(k, \ulcorner\mathrm{false}\urcorner)$를 증명하며, 구성적 평가를 통해 자기일관성을 확립한다.
• 비무한 강하 스키마 $\tilde{\pi}_O$는 증명 트리 내의 무한 강하를 차단하는 데 필수적이며, 이 스키마가 없으면 내부 모순을 배제할 수 없다.
• $\mathbf{PR_A}$에 대해 종료 조건에 기반한 내부 타당성이 성립한다. 즉, 추론 트리가 유한 단계 내에 평가된다면 그 결론은 참이다.
• $\pi_O\mathbf{R}$의 객관적 타당성은 자기일관성에서 유도되며, 이는 모든 정리가 표준 모델에서 참임을 의미한다.
• $\tilde{\pi}_O$ 스키마는 $\mathbf{PR_A}$ 내에서 도출될 수 없으며, 이는 $\mathbf{PR_A}$만으로는 자신의 일관성을 증명할 수 없음을 시사한다.
• 구성적 평가 $\varepsilon$는 일반 재귀 함수 평가를 $O = \mathbb{N}[\omega]$ 위의 CCI 구조로 분해하며, 순서수 기반의 종료 증명을 가능하게 한다.