[논문 리뷰] Reachable states and holomorphic function spaces for the 1-D heat equation

Marcu-Antone Orsoni|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 구간 $[0,\pi]$에서 경계 제어를 갖는 1차원 열기계 방정식의 도달 가능한 상태가, 대각선 $[0,\pi]$를 가진 정사각형 영역 $D$에서의 교차가 되는 두 개의 베르그만 공간의 합집합에 정확히 해당됨을 증명한다. 또한 이 합집합 공간이 스미르노프-지그문트 공간 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$와 $D$ 위의 특정 가중 베르그만 공간을 포함하며, 기존의 스미르노프 공간과 베르그만 공간 사이의 포함 관계를 더욱 정밀하게 다듬는다.

ABSTRACT

The description of the reachable states of the heat equation is one of the central questions in control theory. The aim of this work is to present new results for the 1-D heat equation with boundary control on the segment $[0, \\pi]$. In this situation it is known that the reachable states are holomorphic in a square $D$ the diagonal of which is given by $[0,\\pi]$. The most precise results obtained recently say that the reachable space is contained between two well known spaces of analytic function: the Smirnov space $E^2(D)$ and the Bergman space $A^2(D)$. We show that the reachable states are exactly the sum of two Bergman spaces on sectors the intersection of which is $D$. In order to get a more precise information on this sum of Bergman spaces, we also prove that it includes the Smirnov-Zygmund space $E_{L\\log^+\\!L}(D)$ as well as a certain weighted Bergman space on $D$.

연구 동기 및 목표

• $[0,\pi]$에서 경계 제어를 갖는 1차원 열기계 방정식의 도달 가능한 상태를 정확히 특성화하기.
• 기존의 포함 관계 $E^2(D) \subset \mathcal{R}_\tau \subset A^2(D)$를 개선하여 도달 가능한 집합의 정확한 함수 공간 구조를 규명하기.
• 도달 가능한 공간이 정확히 두 개의 교차하는 영역에서의 베르그만 공간의 합집합임을 보이며, 이는 이전 결과보다 더 정밀한 기술을 제공한다.

제안 방법

• 도달 가능한 상태를 분석하기 위해 복소함수 공간 이론을 포함한 복소해석 기법의 사용.
• 필요한 함수 분해를 구성하기 위해 다변수 복소해석학의 첫 번째 쿠르젠 문제의 적용.
• 등각 사상과 열핵의 구조를 활용하여 도달 가능한 상태를 정사각형 영역 $D$에서의 해석적 함수와 연결.
• 가중 베르그만 공간과 스미르노프-지그문트 공간 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$의 활용을 통해 함수 공간 특성화를 더욱 정교화.
• 도달 가능한 공간이 초기 조건과 시간에 독립적임을 보여주는 영제어 가능성 성질을 활용하여 분석을 $\mathcal{R}_\tau = \text{Ran}\, \Phi_\tau$로 단순화.
• 분할 단위와 관련된 $\overline{\partial}$-문제를 푸는 방법을 사용하여 도달 가능한 공간에 속하는 함수를 두 개의 영역에서의 베르그만 공간 성분으로 분해하는 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $[0,\pi]$에서 경계 제어를 갖는 1차원 열기계 방정식의 도달 가능한 상태에 대한 정확한 함수 공간 구조는 무엇인가?
• RQ2 도달 가능한 공간은 영역에서의 베르그만 공간의 합집합으로 특성화될 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 $E^2(D)$와 $A^2(D)$ 사이의 기존 포함 관계를 어떻게 개선하는가?
• RQ3 도달 가능한 공간은 스미르노프-지그문트 공간 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$와 $D$ 위의 가중 베르그만 공간을 포함하는가?
• RQ4 도달 가능한 공간이 두 개의 베르그만 공간으로 분해하는 것이 최적이며, 첫 번째 쿠르젠 문제를 통해 이를 더 개선할 수 있는가?

주요 결과

• $[0,\pi]$에서 경계 제어를 갖는 1차원 열기계 방정식의 도달 가능한 상태는 대각선 $[0,\pi]$를 가진 정사각형 영역 $D$에서의 교차가 되는 두 개의 베르그만 공간의 합집합에 정확히 해당된다.
• 이 합집합 공간은 스미르노프-지그문트 공간 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$를 엄격히 포함하며, 이는 기존의 포함 관계 $E^2(D) \subset \mathcal{R}_\tau \subset A^2(D)$를 개선한 것이다.
• 도달 가능한 공간은 또한 $D$ 위의 특정 가중 베르그만 공간을 포함하며, 이는 함수 공간 기술을 더욱 정교화한다.
• 이 결과는 $\overline{\partial}$-문제에서 분할 단위의 도함수 조건을 더 이상 개선할 수 없음을 평균값 정리에 의해 보여주므로 최적이며, 이는 최적성의 의미에서 성립한다.
• 도달 가능한 공간은 영제어 가능성 덕분에 초기 조건과 시간 $\tau > 0$에 독립적이다.
• 특정 기하적 구조를 가진 영역에서의 해석적 함수에 대한 첫 번째 쿠르젠 문제의 해를 통한 특성화가 달성되었다.