[논문 리뷰] Reaction-Diffusion Systems in Epidemiology

Sebastian Aniţa, Vincenzo Capasso|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 구조화된 전염병을 모델링하기 위해 반응-확산 시스템을 개발하며, 주로 인간-환경-인간 질병 및 말라리아에 초점을 맞춘다. 하위 영역에서 피드백 제어를 활용한 지역적 통제 전략을 제안하여 전체 서식지에서 질병의 지수적 퇠퇴를 달성한다. 시간-주기적 시스템의 주특성 고유값 분석을 통해 안정성이 증명된다.

ABSTRACT

A key problem in modelling the evolution dynamics of infectious diseases is the mathematical representation of the mechanism of transmission of the contagion. Models with a finite number of subpopulations can be described via systems of ordinary differential equations. When dealing with populations with space structure the relevant quantities are spatial densities, whose evolution in time requires nonlinear partial differential equations, which are known as reaction-diffusion systems. Here we present an (historical) outline of mathematical epidemiology, with a particular attention to the role of spatial heterogeneity and dispersal in the population dynamics of infectious diseases. Two specific examples are discussed, which have been the subject of intensive research by the authors, i.e. man-environment-man epidemics, and malaria. In addition to the epidemiological relevance of these epidemics all over the world, their treatment requires a large amount of different sophisticate mathematical methods, and has even posed new non trivial mathematical problems, as one can realize from the list of references. One of the most relevant problems posed by the authors, i.e. regional control, has been emphasized here: the public health concern consists of eradicating the disease in the relevant population, as fast as possible. On the other hand, very often the entire domain of interest for the epidemic, is either unknown, or difficult to manage for an affordable implementation of suitable environmental programmes. For regional control instead it might be sufficient to implement such programmes only in a given subregion conveniently chosen so to lead to an effective (exponentially fast) eradication of the epidemic in the whole habitat; it is evident that this practice may have an enormous importance in real cases with respect to both financial and practical affordability.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 미분 방정식의 분할 모델을 넘어서 반응-확산 시스템을 사용하여 공간적으로 구조화된 전염병 역학을 모델링한다.
• 큰 영역 또는 일부 접근이 어려운 지역에서 전염병을 통제하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해, 전략적으로 선택된 하위 영역에 집중한 간섭 조치를 고려한다.
• 하위영역에서 피드백 제어를 통한 지역적 통제가 전역적인 지수적 퇠퇴를 이끌어내는 조건을 설정한다.
• 시간-주기적 전파율을 가진 전염병 시스템의 안정성을 스펙트럼 이론을 통한 고유값 문제 분석을 통해 분석한다.
• 공중보건 간섭 조치에서 최적의 하위영역 선택을 수학적으로 제공하는 프레임워크를 마련하며, 이를 형태 최적화 문제로 정의한다.

제안 방법

• 공간 영역 $ \Omega $ 내에서 진동하는 두 성분인 인구 밀도 $ u_1 $ (예: 감염 가능성 있음)와 환경 병원균 농도 $ u_2 $ 를 포함하는 반응-확산 시스템을 수립한다.
• 통제 입력 $ v $ 는 하위영역 $ \omega \subset \overline{\omega} $ 에서만 작용하며, 위생 조치 또는 벡터 통제와 같은 목표 지점 간섭을 나타낸다.
• 비선형 발생률 $ g(u_1) $ 과 시간-주기적 전파 함수 $ p(t) $ 를 사용하여 계절적 또는 주기적 전파 패턴을 모델링한다.
• 선형화된 시스템에 대한 시간-주기적 고유값 문제 (3.8) 를 분석하여 주특성 고유값 $ \lambda_1^T(\omega) $ 를 정의한다.
• 하위영역 $ \omega $ 에서 피드백 제어 $ v = -\gamma u_1 $ 를 적용하며, $ \lambda_1^T(\omega) > 0 $ 이면 시스템이 영 안정화 가능하다는 것을 증명한다.
• 미분 계수 $ g'(0) $ 를 사용한 국소 안정화로 결과를 확장하며, 수정된 고유값 $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) $ 를 도입하고, 국소 및 전역 안정성 조건을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 서식지의 일부 하위영역에만 적용된 통제 조치로 질병을 전역적으로 퇴치할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 시간-주기적 반응-확산 시스템의 주특성 고유값이 전염병 모델의 안정성과 제어 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 비선형 발생률과 시간-주기적 전파가 공간적으로 구조화된 전염병의 역학에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 국소 하위영역에서의 피드백 제어가 전체 영역에서 질병 부담의 지수적 감소를 이끌 수 있는가?
• RQ5 최대 퇠퇴 효율성을 확보하기 위해 최적의 위치와 크기의 통제 하위영역을 어떻게 수학적으로 결정할 수 있는가?

주요 결과

• 주특성 고유값 $ \lambda_1^T(\omega) > 0 $ 이면, 충분히 큰 $ \gamma $ 에 대해 피드백 제어 $ v = -\gamma u_1 $ 를 통해 시스템이 영 안정화 가능하며, 이는 질병의 전역적 지수적 감소를 보장한다.
• 국소 안정화의 경우 조건 $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) > 0 $ 는 필요충분조건이며, 여기서 $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) $ 는 $ g'(0) $ 을 사용한 선형화된 시스템의 주특성 고유값이다.
• $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) < 0 $ 이면 시스템은 국소적으로 영 안정화 가능하지 않으며, 이는 하위영역 $ \omega $ 에서의 지역적 통제로는 질병을 퇴치할 수 없음을 의미한다.
• 고유값 $ \lambda_1^T(\omega) $ 는 항상 $ \tilde{\lambda}_1^T(\omega) $ 이하이며, 이는 선형화 접근의 보수적인 성격을 반영한다.
• 매개변수 $ a_{11}, a_{22}, k $, 및 $ p(t) $ 가 시간-주기적일 경우에도 결과가 확장 가능하여 계절 전염병에 대한 적용 범위를 넓힌다.
• 향후 연구는 최적의 하위영역 선택 문제를 형태 최적화 문제로 해결하여, 통제에 가장 적합한 공간적 구성 요건을 규명하는 데 목표를 둔다.