[논문 리뷰] Real-space renormalization, error correction and conditional expectations

Keiichiro Furuya, Nima Lashkari외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 30.

Quantum many-body systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실공간 리노멀화군(RG) 변환이 조건부 기대를 통해 양자 오류 수정 코드로 작용하며, 군집화는 오류와 장거리 관측 가능량이 포함된 수정 가능한 대칭대수로 맵핑됨을 보여준다. 핵심 결과는 상태가 RG에 대해 보존될 경우 군집화가 등급 매핑의 피에츠 쌍대사상이 되며, 이는 GNS 힐베르트 공간에서 조건부 기대로 작용하여 RG와 오류 수정, 히알로그래픽 dualit에 대한 연결 고리를 형성한다.

ABSTRACT

We show that the real-space renormalization group (RG), as a map from the observable algebra to the subalgebra of long-distance observables, is an error correction code, best described by a conditional expectation. It is comprised of a coarse-graining step followed by an isometric embedding. The coarse-graining is the error map and the long-distance observables are the correctable operators. We show that if there is a state that is preserved under renormalization the coarse-graining step is the Petz dual of the isometric embedding (the Petz map). We demonstrate that a set of states are preserved under this map if and only if their pairwise relative entropies do not change when we restrict to the long-distance observables. We study the operator algebra quantum error correction in the GNS Hilbert space which applies to any quantum system including the local algebra of quantum field theory. We show that the recovery map is an isometric embedding of the correctable subalgebra. Similar to the RG, the composition of the error map followed by the recovery map forms a conditional expectation (a projection in the GNS Hilbert space). In gauge/gravity dualities, the bulk relative entropy of holographic states is the same as their boundary relative entropies which implies that the holographic map is an error correction code, and hence a conditional expectation. It follows that the boundary to the bulk map is a Petz map.

연구 동기 및 목표

• 실공간 리노멀화군(RG) 변환과 양자 오류 수정 사이의 공식적 연결 고리를 확립하기 위해.
• RG 맵이 군집화와 등급 매핑의 조합으로 구성되며, GNS 힐베르트 공간에서 조건부 기대로 작용함을 보여주기 위해.
• 양자 상태가 RG에 대해 불변일 조건을 규명하고, 이로 인해 상대 엔트로피 보존과 연결되는지를 밝혀내기 위해.
• 국소 양자장 이론과 게이지/중력 이중성에 대해 연산자 대수 기반 양자 오류 수정을 적용하기 위해.
• 초월적 히알로그래피에서 경계에서 블록으로의 맵핑이 피에츠 맵임을 보여주어 오류 수정 코드임을 입증하기 위해.

제안 방법

• RG 변환을 군집화 맵(오류 맵)과 등급 매핑(복구 맵)의 조합으로 모델링하기 위해.
• RG 맵을 GNS 힐베르트 공간에서 장거리 관측 가능량의 부분대수로 투영하는 조건부 기대로 해석하기 위해.
• 상태가 RG에 대해 보존될 경우, 군집화 단계의 쌍대를 피에츠 맵(등급 매핑의 역함수)으로 정의하기 위해.
• 국소 대수를 포함한 양자장 이론의 GNS 표현에 대해 연산자 대수 기반 양자 오류 수정을 적용하기 위해.
• 복구 맵이 수정 가능한 부분대수의 등급 매핑임을 보여주어 양자 정보의 유니터리 보존을 보장하기 위해.
• 게이지/중력 이중성에서 블록에서 경계로의 맵핑이 조건부 기대임을 보여주어 오류 수정 코드임을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실공간 리노멀화군 맵이 어떻게 양자 오류 수정 코드로 작용하는가?
• RQ2 양자 상태가 언제 RG 변환에 대해 보존되며, 이는 군집화 맵의 구조에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 피에츠 맵은 RG의 군집화와 등급 매핑 단계를 어떻게 연결하는가?
• RQ4 GNS 힐베르트 공간에서 조건부 기대의 구조는 어떻게 RG 변환에서 유도되는가?
• RQ5 장거리 관측 가능량으로 제한했을 때 상대 엔트로피의 불변성이 히알로그래픽 이중성에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• RG 변환은 공식적으로 양자 오류 수정 코드와 동치이며, 군집화가 오류 맵이고 장거리 관측 가능량이 수정 가능한 연산자임을 보여준다.
• 상태가 RG에 대해 보존될 경우 군집화 단계는 등급 매핑의 피에츠 쌍대사상이 되며, 오류와 복구 사이의 이중성을 확립한다.
• 일부 상태들이 RG에 대해 보존되는 것은 그들 간의 상대 엔트로피가 장거리 관측 가능량으로 제한되었을 때도 그대로 유지될 조건과 동치이다.
• RG 프레임워크에서 복구 맵은 수정 가능한 부분대수의 등급 매핑이며, 양자 정보의 유니터리 보존을 보장한다.
• 오류 맵과 복구 맵의 조합은 GNS 힐베르트 공간에서 조건부 기대를 형성하며, 수정 가능한 대수로의 투영으로 작용한다.
• 게이지/중력 이중성에서 경계에서 블록으로의 맵핑은 피에츠 맵이며, 이는 히알로그래픽 맵이 동일한 블록과 경계 상대 엔트로피를 갖는 오류 수정 코드임을 확인한다.