[논문 리뷰] Real-Time Minimization of Average Error in the Presence of Uncertainty and Convexification of Feasible Sets

Andrey Bernstein, Niek J. Bouman외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 21.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지역 제어기 수준에서 오차 확산의 변종을 사용하여 불확실성과 비볼록 가능 영역이 존재하는 상황에서 평균 오차를 최소화하는 실시간 제어 프레임워크를 제안한다. 누적 오차가 유한함을 보장하는 조건을 수립하여 평균 오차가 0으로 수렴함을 보장하고, 오차 동역학에 대한 최소 볼록 불변 집합을 구성하기 위한 계산 방법을 제공한다.

ABSTRACT

We consider a two-level discrete-time control framework with real-time constraints where a central controller issues setpoints to be implemented by local controllers. The local controllers implement the setpoints with some approximation and advertize a prediction of their constraints to the central controller. The local controllers might not be able to implement the setpoint exactly, due to prediction errors or because the central controller convexifies the problem for tractability. In this paper, we propose to compensate for these mismatches at the level of the local controller by using a variant of the error diffusion algorithm. We give conditions under which the minimal (convex) invariant set for the accumulated-error dynamics is bounded, and give a computational method to construct this set. This can be used to compute a bound on the accumulated error and hence establish convergence of the average error to zero. We illustrate the approach in the context of real-time control of electrical grids.

연구 동기 및 목표

• 지역 제어기가 불확실성 또는 비볼록 가능 영역로 인해 설정값을 정확히 구현할 수 없는 실시간 제어 문제에 대응한다.
• 요청된 설정값과 구현된 설정값 사이의 평균 오차가 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하도록 보장한다.
• 계층적 제어 시스템에서 볼록화된 가능 영역을 갖는 경우 누적 오차를 유한하게 둘 수 있는 계산 가능 방법을 제공한다.
• 오차 동역학에 대한 최소 볼록 불변 집합이 유한함을 보장하는 이론적 조건을 수립하여 누적 오차 과정의 안정성을 보장한다.
• 활성 제어 성능이 중요한 전력망과 같은 실시간 시스템에서의 실용적 구현을 가능하게 한다.

제안 방법

• 중앙 제어기가 설정값을 제출하고 지역 제어기가 근사치를 구현하는 이중 수준 이산 시간 시스템으로 제어 상호작용을 모델링한다.
• 오차를 $ e_{n+1} = e_n + x_n - y_n $ 로 정의하고, 지역 제어기 수준에서 총 누적 오차를 최소화하기 위해 오차 확산 알고리즘의 변종을 사용한다.
• 지역 제어기의 가능 영역 매핑에 대한 오차 동역학의 영역의 볼록 hull을 나타내는 연산자 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 를 도입한다.
• 반복적으로 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 를 적용하여 수렴하는 극한으로 정의되는 최소 볼록 $ F $-불변 집합 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 를 정의하여 누적 오차를 유한하게 둔다.
• $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 의 단조성과 볼록성 성질을 활용하여 수렴성과 오차 집합의 날카운 오차 경계를 증명한다.
• 활성 및 무효 전력 설정값이 불확실성과 이산 제어 조작 조건 하에서 관리되는 실시간 전력망 제어에 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계층적 실시간 제어 시스템에서 누적 오차가 시간이 지남에 따라 유한한가에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 비볼록 가능 영역과 예측 오차가 존재하는 상황에서 오차 확산 메커니즘은 어떻게 조정되어야 하며, 평균 오차가 0으로 수렴하는가?
• RQ3 누적 오차 동역학을 유한하게 둘 수 있는 최소 볼록 불변 집합을 구성하기 위한 계산 방법은 무엇인가?
• RQ4 중앙 제어기가 가능 영역을 볼록화함으로써 지역 제어 구현의 안정성과 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 활성 제어 성능이 필수적인 전력망과 같은 실세계 시스템에 적용 가능한가?

주요 결과

• 최소 볼록 $ F $-불변 집합 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 는 모든 가능한 누적 오차를 포함하고 오차 동역학에 대해 불변인 가장 작은 볼록 집합임을 증명하였다.
• 반복적으로 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 를 적용하면 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 로 수렴하는 단조 증가 수열의 집합이 생성되어 오차 경계의 효과적인 계산이 가능하다.
• $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 의 유한성은 오차 동역학이 발산하지 않도록 보장하는 조건 하에서 확립되었으며, 이는 평균 오차가 0으로 수렴함을 보장한다.
• 지역 제어기가 불확실성 또는 이산적 또는 변동성이 큰 행동으로 인해 비볼록 가능 영역을 갖는 상황에서도 프레임워크는 평균 오차가 0으로 수렴함을 보장한다.
• 이 방법은 계산적으로 타당하며, 빠른 시간 제약 조건 하에서 활성 및 무효 전력 설정값을 관리해야 하는 실시간 시스템, 예를 들어 전력망에 적용 가능하다.
• 이론적 결과는 전력망 제어의 맥락에서 검증되었으며, 실시간 제약 조건과 실행 불일치가 존재하는 상황에서도 평균 오차가 0이 되는 것이 가능함을 보여주었다.