[논문 리뷰] Realisation of groups as automorphism groups in categories

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 02.

Finite Group Theory Research참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초순서수의 모든 군이 다양한 순열적 범주인 방향성 있는 및 비방향성의 초등형 하이퍼맵, 맵, 초등형 하이퍼맵의 비이sov모르픽 객체들에 대해 비가산 수의 비이sov모르픽 객체들로 표현될 수 있음을 보여준다. 삼각군의 극대부분군과 대칭군 내 중심화자 구조를 활용하여, 저자들은 모든 유한군이 단일 정규 맵의 자기동형군에 포함됨을 증명함으로써, 이러한 범주에서의 유한군 표현을 위한 보편적 구성법을 제시한다.

ABSTRACT

It is shown that in various categories, including many consisting of maps or hypermaps, oriented or unoriented, of a given hyperbolic type, every countable group $A$ is isomorphic to the automorphism group of uncountably many non-isomorphic objects, infinitely many of them finite if $A$ is finite. In particular, this applies to dessins d'enfants, regarded as finite oriented hypermaps. The proof, involving maximal subgroups of various triangle groups, yields a simple construction of a regular map whose automorphism group contains an isomorphic copy of every finite group.

연구 동기 및 목표

• 가산군이 초등형 하이퍼맵 및 맵과 같은 순열적 범주에서 비이sov모르픽 객체들로 비가산 수로 표현될 수 있음을 입증하는 것.
• 프류흐트의 정리가 유한 그래프를 초월하여, 초등형 하이퍼맵(예: 디생 드엥프)에서의 유한군이 자동형군으로서 나타남을 보여주는 것.
• 모든 유한군의 동형 사본을 포함하는 단일 정규 맵을 구성하여, 이러한 범주에서의 유한군 표현을 위한 보편적 객체를 제공하는 것.
• 초등형의 방향성 및 비방향성 하이퍼맵의 범주가 강력한 자동형군 실현 성질(SARP)을 만족하는지 입증하는 것 — 이는 유한군 및 가산군의 실현을 포함한다.

제안 방법

• 중앙자 동형정리 사용: Aut(O) ≅ N_G(H)/H, 여기서 H는 객체 O의 모노드로미 군 G에서 점 안정자이다.
• 정리 1을 적용하여 순열적 범주에서의 자동형군을 부모 군 Γ 내의 정규자군 대 안정자 몫으로 연결한다.
• 콘더와 에버릿의 코셋 다이어그램을 활용하여, 초등형 삼각군 Δ(p,q,r) 및 Δ[p,q,r]의 몫으로서 유한군을 표현한다.
• 정수 집합 ℤ 위에서의 순열군 P = ⟨x, y⟩를 구성하며, x는 이동이고 y는 전치 또는 q-순환으로, 무한 하이퍼맵의 모노드로미를 모델링한다.
• P 또는 그 짝수 부분군 P⁺(x와 y에 의해 생성됨)이 모든 대칭군 및 교대군과 동형인 부분군을 포함함을 보여, 따라서 모든 유한군을 포함함을 입증한다.
• 카이리의 정리와 S_n의 A_{n+2}로의 임베딩을 활용하여, 모든 유한군을 하이퍼맵의 최소 정규 커버의 자동형군에 포함시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 가산군이 초등형 하이퍼맵 및 맵 범주에서 비가산 수의 비이sov모르픽 객체들로 표현될 수 있는가?
• RQ2 모든 유한군의 동형 사본을 포함하는 단일 정규 맵이 존재하는가?
• RQ3 초등형의 방향성 및 비방향성 하이퍼맵의 범주가 강력한 자동형군 실현 성질(SARP)을 만족하는가?
• RQ4 삼각군 Δ(p,q,r)의 극대부분군을 활용하여 모든 유한군을 유한 하이퍼맵의 자동형군으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 푸크스 군의 코셋 다이어그램은 이러한 범주에서 모든 유한군의 자동형군을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 가산군 A는 초등형 하이퍼맵 및 맵 범주에서 비가산 수의 비이sov모르픽 객체들에 대해 자동형군과 동형이다.
• 모든 유한군 A에 대해, 방향성 하이퍼맵(디생 드엥프 포함)이 무한히 많은 비이sov모르픽 예제들이 존재하며, 이들에 대해 Aut(O) ≅ A 이다.
• 특히 유형 (∞,2,∞)인 무한 하이퍼맵의 최소 정규 커버인 단일 정규 맵은 모든 유한군의 동형 사본을 포함하는 자동형군을 가진다.
• 무한 하이퍼맵 H_∞의 최소 정규 커버의 자동형군은 정수 집합 ℤ 위에서의 군 P = ⟨x, y⟩와 동형이며, 이 군은 모든 대칭군 S_n을 포함한다.
• 각 q ≥ 2에 대해, 유형 (∞, q, ∞)인 방향성 하이퍼맵이 존재하며, 그 최소 정규 커버의 자동형군은 P 또는 P⁺와 동형이며, 이 둘 다 모든 유한군을 부분군으로 포함한다.
• 이 구성은 모든 코어팩트 초등형 삼각군 Δ(p,q,r) 및 Δ[p,q,r]로 일반화되며, 이러한 모든 범주가 강력한 자동형군 실현 성질을 만족한다는 추측을 뒷받침한다.