[논문 리뷰] Realizable homotopy colimits

Beatriz Rodríguez González|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 상대 카테고리의 2-category 구조를 통해 실현 가능한 호모토피 쌍대극한의 개념을 도입함으로써, 어떤 모델 범주에서도 Bousfield-Kan 호모토피 쌍대극한이 쌍대극한의 절대 왼쪽 유도 함자임을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 쌍대극한이 기하적 실현과 단체적 치환을 조합한 공식으로 특징지어지며, 이 틀이 점별 호모토피 왼쪽 칸 확장의 존재를 보장함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we prove that for any model category, the Bousfield-Kan construction of the homotopy colimit is the absolute left derived functor of the colimit. This is achieved by showing that the Bousfield-Kan homotopy colimit is moreover a realizable homotopy colimit, defined by means of a suitable 2-category of relative categories. In addition, in the case of exact coproducts, we characterize the realizable homotopy colimits that satisfy a cofinality property as those given by a formula following the pattern of Bousfield-Kan construction: they are the composition of a "geometric realization" with the simplicial replacement.

연구 동기 및 목표

• 모든 호모토피 쌍대극한의 정의—Bousfield-Kan, Quillen, Grothendieck 유도자, Voevodsky—를 통합된 틀 아래에서 동치임을 보여주어 서로 다른 정의들을 조율한다.
• 약한 동치에 의한 국소화 이전에 실현된 호모토피 쌍대극한을 정의하고, 상대 카테고리 위의 2-category의 구조를 사용하여 이를 연구한다.
• 코프랄로지 성질을 만족하는 실현 가능한 호모토피 쌍대극한을 기하적 실현과 단체적 치환을 포함하는 공식으로 특징지운다.
• 모델 범주에서 Bousfield-Kan 구성이 실현 가능한 호모토피 쌍대극한임을 보여주고, 따라서 쌍대극한의 절대 왼쪽 유도 함자임을 증명한다.
• 모형 범주 간의 함자가 콤팩트한 대상들 사이의 약한 동치를 보존할 때, 이 함자가 모든 호모토피 쌍대극한을 보존하는 것과 동치임을 보여주며, 이는 호모토피 쌍대곱과 $\Delta$-호모토피 쌍대극한을 보존하는 것과 동치이다.

제안 방법

• 상대 카테고리 위에 2-category의 구조를 도입하여, 국소화 이전에 약한 동치를 보존하는 함수로서 실현 가능한 호모토피 쌍대극한을 정의한다.
• 단체 대상에 대한 기하적 실현을 암시하는 개념인 '단순 함자' $\beta: \Delta^\circ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$를 정의한다.
• 호모토피 쌍대극한을 표현하기 위해 단체적 치환 함자 $\amalg^I: \mathcal{C}^I \to \Delta^\circ \mathcal{C}$를 사용하여 $\mathtt{hocolim}_I \simeq \mathbf{s} \circ \amalg^I$의 조합으로 표현한다.
• 수정된 Bousfield-Kan 공식 $\mathtt{{}_{c}hocolim}^{BK}_{I}X = \int^i \widetilde{QX}(i) \otimes \mathrm{N}(i/I)^\circ$를 적용하여, 이 구성이 콤팩트한 다이어그램에서 단순 함수임을 보인다.
• 모형 범주의 전유도자와 Grothendieck 유도자 사이의 동치를 활용하여, 전유도자가 약한 왼쪽 및 약한 오른쪽 유도자임을 유도한다.
• 약한 동치의 지그재그를 사용하여, 호모토피 쌍대곱과 $\Delta^\circ$-호모토피 쌍대극한을 보존하는 함자가 모든 호모토피 쌍대극한을 보존함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모형 범주에서 Bousfield-Kan 호모토피 쌍대극한이 쌍대극한의 절대 왼쪽 유도 함자임을 보일 수 있는가?
• RQ2 실현 가능한 호모토피 쌍대극한이 코프랄로지 성질을 만족하고, 기하적 실현 및 단체적 치환을 포함하는 공식으로 기술될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 상대 카테고리에서 단순 함수 $\mathbf{s}: \Delta^\circ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$의 존재는 점별 호모토피 왼쪽 칸 확장의 존재와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모형 범주 간의 함자가 모든 호모토피 쌍대극한을 보존하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 Voevodsky의 $\Delta$-닫힘 클래스에 대한 호모토피 쌍대극한은 실현 가능한 호모토피 쌍대극한의 특수한 경우이며, 주요 결과에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모델 범주에서 Bousfield-Kan 호모토피 쌍대극한은 실현 가능한 호모토피 쌍대극한이므로, 쌍대극한의 절대 왼쪽 유도 함자이다.
• 코프랄로지 성질을 만족하는 실현 가능한 호모토피 쌍대극한은 단순 함수 $\mathbf{s}$와 단체적 치환 $\amalg^I$의 조합으로 특징지어진다.
• 정확한 쌍대곱이 존재할 경우, 실현 가능한 호모토피 쌍대극한의 존재는 모든 호모토피 왼쪽 칸 확장의 존재와 점별 계산 가능성으로 이어진다.
• 모형 범주와 관련된 전유도자는 Grothendieck 유도자이다. 왜냐하면 이는 약한 왼쪽 및 약한 오른쪽 유도자이기 때문이다.
• 모형 범주 $\mathcal{M}$에서 $\mathcal{N}$으로 가는 함자 $F: \mathcal{M} \to \mathcal{N}$가 콤팩트한 대상들 사이의 약한 동치를 보존할 때, 이 함자가 모든 호모토피 쌍대극한을 보존하는 것과 동치이며, 이는 호모토피 쌍대곱과 $\Delta^\circ$-호모토피 쌍대극한을 보존하는 것과 동치이다.
• 조건 6.7를 만족할 경우, $\mathcal{R}el\mathcal{C}at$에서 $\mathtt{hocolim}_I^\mathcal{N} \circ F \dashrightarrow F \circ \mathtt{hocolim}_I^\mathcal{M}$의 표준 상대 자연변환은 동형이다.