[논문 리뷰] Realizations of Gromov-Hausdorff Distance

Alexander Ivanov, S.D. Iliadis외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 29.

Medical and Biological Sciences참고 문헌 4인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 임의의 두 컴팩트 거리공간 사이에 최적의 대응관계가 존재함을 증명하며, 그로 인해 그로모프–하우스도르프 거리가 항상 이러한 대응관계에서 도달됨을 보인다. 이러한 최적의 대응관계를 이용하여, 이미지 간 하우스도르프 거리가 그로모프–하우스도르프 거리와 일치하는 공통의 거리공간으로의 명시적 등거리 임bedding을 구성하며, 추가로 이러한 대응관계가 그로모프–하우스도르프 공간 내에서 최단 곡선을 생성함을 보여주어, 기본적인 컴팩트성 추론을 통해 그 공간의 길항성(geodesic)을 확인한다.

ABSTRACT

It is shown that for any two compact metric spaces there exists an "optimal" correspondence which the Gromov-Hausdorff distance is attained at. Each such correspondence generates isometric embeddings of these spaces into a compact metric space such that the Gromov-Hausdorff distance between the initial spaces is equal to the Hausdorff distance between their images. Also, the optimal correspondences could be used for constructing the shortest curves in the Gromov-Hausdorff space in exactly the same way as it was done by Alexander Ivanov, Nadezhda Nikolaeva, and Alexey Tuzhilin in arXiv:1504.03830, where it is proved that the Gromov-Hausdorff space is geodesic. Notice that all proofs in the present paper are elementary and use no more than the idea of compactness.

연구 동기 및 목표

• 임의의 두 컴팩트 거리공간 사이의 그로모프–하우스도르프 거리가 어떤 최적의 대응관계에서 항상 도달됨을 증명하는 것.
• 공통의 거리공간에 있어서 이미지 간 하우스도르프 거리가 그로모프–하우스도르프 거리와 일치하는 컴팩트 거리공간의 명시적 실현을 구성하는 것.
• 최적의 대응관계를 이용하여 그로모프–하우스도르프 공간 내에서 최단 곡선을 명시적으로 구성할 수 있음을 보여주며, 그 공간의 길항성(geodesic) 성질을 확인하는 것.
• 고급 도구를 회피하고 기본적인 컴팩트성 추론에 기반한 간단한 증명을 제공하여 결과들이 접근 가능하고 독립적이게 만드는 것.

제안 방법

• 컴팩트 거리공간 X와 Y 사이의 대응관계를 정의하며, 이는 두 사영 사상이 모두 전성임을 의미한다.
• 대응관계의 왜곡(disortion)을 정의하며, 이는 관련된 점들의 거리 차이의 절대값의 상한으로 정의된다.
• 컴팩트 대응관계의 공간 위에서 왜곡 함수가 연속적이며, 컴팩트성에 의해 최소값을 도달함을 증명한다.
• 그로모프–하우스도르프 거리가 최적의 대응관계의 왜곡의 반값과 같음을 보인다.
• 최적의 대응관계를 이용해 X ⊔ Y의 이산합집합 위에 편의 거리공간을 정의하며, 이에 의해 얻어지는 몫공간에서 X와 Y의 이미지가 그로모프–하우스도르프 거리를 하우스도르프 거리로 실현함을 보인다.
• 최적의 대응관계를 이용해, t에 따라 X와 Y의 거리공간 간선을 선형으로 보간하는 일차 가중치를 가지는 메트릭 ρ_t를 갖는 일련의 거리공간 R_t를 정의하며, 이는 그로모프–하우스도르프 공간 내에서 X와 Y를 연결하는 최단 곡선을 형성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 두 컴팩트 거리공간 사이의 그로모프–하우스도르프 거리는 항상 어떤 대응관계에서 그 하한값을 도달하는가?
• RQ2 모든 컴팩트 거리공간 쌍은 하우스도르프 거리가 그로모프–하우스도르프 거리와 일치하는 공통의 거리공간에 등거리 임베딩될 수 있는가?
• RQ3 최적의 대응관계를 이용하여 그로모프–하우스도르프 공간 내에서 최단 곡선을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 그로모프–하우스도르프 공간은 길항성(geodesic)을 가지며, 이는 기본적인 컴팩트성 추론을 통해 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 두 컴팩트 거리공간 X와 Y에 대해, d_GH(X,Y) = (1/2) · dis(R)를 만족하는 최적의 대응관계 R ∈ R_opt(X,Y)가 적어도 하나 존재한다.
• X ⊔ Y 위에 정의된 편의 거리공간 ρ가 존재하여 d_H(X,Y,ρ) = d_GH(X,Y)를 만족함으로써, 그로모프–하우스도르프 거리가 공통 공간 내에서 하우스도르프 거리로 직접 실현됨을 보여준다.
• 그로모프–하우스도르프 거리와 일치하는 이미지 간 하우스도르프 거리를 가지는 거리공간 Z와 X, Y의 Z로의 등거리 임베딩이 존재한다.
• 모든 최적의 대응관계 R에 대해, ρ_t((x,y),(x',y')) = (1−t)|xx'| + t|yy'|로 정의된 (R, ρ_t)의 가중 거리공간 가중족은 X와 Y를 연결하는 그로모프–하우스도르프 공간 내 최단 곡선을 형성한다.
• 증명은 컴팩트 대응관계 공간의 컴팩트성과 왜곡 함수의 연속성에만 기반하며, 고급 분석 도구를 회피한다.
• 결과들은 그로모프–하우스도르프 공간이 길항성(geodesic)임을 확인하며, 최단 곡선의 구성은 최적의 대응관계를 통해 명시적이고 구조적으로 가능하다.