[논문 리뷰] Realizations of Rigid C*-Tensor Categories as Bimodules over GJS C*-Algebras

Hartglass, Michael, Palomares, Roberto Hernandez|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가чёт 생성된 강한 C*-텐서 카테고리 $ \mathsf{C} $에 대해, 단순한 단위를 가진 강한 C*-텐서 카테고리에서 유니탈, 단순, 분리 가능, 정확한 C*-대수 $ B_0 $ 위의 유한 생성 프로젝티브 힐버트 C*-이중모듈러스 카테고리로의 완전 충실, 이중 포함, 강한 모나드 함자 $ \mathbb{F} $를 구성한다. 이 구성은 GJS-구성법을 사용하여 카테고리의 구조에서 C*-대수 $ B_0 $를 만들며, $ B_0 $의 $ K_0 $-군이 카테고리 내 단순 객체들의 동치류에 의해 자유롭게 생성됨을 보장함으로써, 카테고리가 추적 호환 성질을 가진 C*-대수 위의 이중모듈러스로 실현됨을 보장한다.

ABSTRACT

Given an arbitrary countably generated rigid C*-tensor category, we construct a fully-faithful bi-involutive strong monoidal functor onto a subcategory of finitely generated projective bimodules over a simple, exact, separable, unital C*-algebra with unique trace. The C*-algebras involved are built from the category using the GJS-construction introduced in arXiv:0911.4728 and further studied in arXiv:1208.5505 and arXiv:1401.2486. Out of this category of Hilbert C*-bimodules, we construct a fully-faithful bi-involutive strong monoidal functor into the category of bi-finite spherical bimodules over an interpolated free group factor. The composite of these two functors recovers the functor constructed in arXiv:1208.5505

연구 동기 및 목표

• 가чёт 생성된 강한 C*-텐서 카테고리 $ \mathsf{C} $의 단위가 단순한 경우, 이 카테고리가 분리 가능하고 유니탈인 C*-대수 위의 유한 생성 프로젝티브 이중모듈러스의 부분카테고리로 완전히 실현될 수 있는지 여부를 해결하는 것.
• GJS-구성법을 사용하여 이러한 실현을 구성하는 것. 이는 카테고리의 내부자기사상 대수와 대칭 자기쌍대 객체로부터 C*-대수 $ B_0 $를 만드는 것이다.
• 결과로 얻어진 $ B_0 $의 $ K_0 $-군이 카테고리 내 단순 객체들의 동치류에 의해 생성된 자유 아벨군과 동형임을 보장하는 것.
• 함자 $ \mathbb{F} $에 의한 단순 객체들의 이미지가 $ K_0(B_0) $의 표준 생성자들과 정확히 일치함을 확립하는 것.
• 단일 생성자에서의 결과를 가чёт 생성된 카테고리로 확장하기 위해, 가чёт 개수의 생성자들에 대한 자유곱 구성법을 사용하는 것.

제안 방법

• 카테고리 $ \mathsf{C} $ 내에서 양자 차원 $ \delta_x > 1 $인 대칭 자기쌍대 객체 $ x $를 고려하며, 이로부터 내부자기사상 대수 $ \mathsf{C}(x^{\otimes n}) $를 통해 그레디에이션된 C*-대수 $ A_\infty $를 구성한다.
• 힐버트 $ A_\infty $-모듈러스 $ X_1 $를 구성하고, 전체 포크 공간 $ \mathcal{F}(X_1) $의 실수 벡터들로부터 생성된 창조/소멸 연산자가 C*-대수 $ B_\infty $를 생성한다. 이는 충실한 조건 기대와 추적 측도 $ \operatorname{Tr} $를 가진 보이쿨루스쿠 반원형 체계이다.
• 각 $ n \geq 0 $에 대해 $ B_\infty $의 코너 $ B_n \subset B_\infty $를 정의한다. 각각은 유니탈, 분리 가능, 단순하며, 고유한 추적 $ \operatorname{tr}_{B_n} = \operatorname{Tr}|_{B_n} $를 갖는다.
• $ B_0 $는 $ B_\infty $ 내의 비대칭 코너 $ {}_lB_r $ 위에서의 곱셈을 통해 작용하며, 유계 작용을 보장하고 이로써 이중모듈러스 $ {}_0B_r $를 구성할 수 있다.
• 이중모듈러스의 콘네스 병합 $ {}_0B_n \mathbin{\mathop{\boxtimes}_{B_0}} {}_0B_m $가 $ {}_0B_{n+m} $와 동형임을 보이며, 병합 구조를 단순화한다.
• 함자 $ \mathbb{F} $는 객체 $ p \in \mathsf{C}_x $를 이중모듈러스 $ \mathbb{F}(p)[{}_0B_n] $로 매핑하고, 사상은 텐서곱과 수직/수평 병합을 통해 매핑하여, 완전 충실성과 강한 모나드 구조를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 가чёт 생성된 강한 C*-텐서 카테고리 $ \mathsf{C} $의 단위가 단순한 경우, 이 카테고리가 분리 가능하고 유니탈인 C*-대수 위의 유한 생성 프로젝티브 이중모듈러스의 부분카테고리로 완전하고 충실하게 실현될 수 있는가?
• RQ2 다이어그램 카테고리와 포크 공간 구성법을 사용하여 C*-대수를 만드는 GJS-구성법을 사용해 이러한 실현을 구성할 수 있는가?
• RQ3 결과로 얻어진 C*-대수 $ B_0 $의 $ K_0 $-군이 카테고리의 구조를 자연스럽게 반영하며, 생성자가 단순 객체들과 대응하는가?
• RQ4 자유곱의 생성자들에 의한 구성법을 통해 단일 생성자에서의 결과를 가чёт 생성된 카테고리로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $ B_\infty $-타워와 그 코너들이 $ B_0 $ 위에서의 유계적, 추적 호환 성질을 가진 이중모듈러스 작용을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 임의의 가чёт 생성된 강한 C*-텐서 카테고리 $ \mathsf{C} $에 대해, 단위가 단순한 경우, 유니탈, 단순, 분리 가능, 정확한 C*-대수 $ B_0 $ 위의 추적을 가진 유한 생성 프로젝티브 이중모듈러스 카테고리 $ \mathsf{Bim}_{\mathsf{fgp}}^{\mathsf{tr}}(B_0) $로의 완전 충실, 이중 포함, 강한 모나드 함자 $ \mathbb{F}: \mathsf{C} \hookrightarrow \mathsf{Bim}_{\mathsf{fgp}}^{\mathsf{tr}}(B_0) $가 존재한다.
• $ B_0 $의 $ K_0 $-군은 $ \mathsf{C} $ 내 단순 객체들의 동치류에 의해 생성된 자유 아벨군과 동형이며, 각 단순 객체가 $ \mathbb{F} $에 의해 매핑된 이미지는 $ K_0(B_0) $의 표준 생성자와 정확히 일치한다.
• 단일 생성자 카테고리 $ \mathsf{C}_x $의 경우, 함자 $ \mathbb{F} $는 생성자 $ x $를 이중모듈러스 $ {}_0B_1 $로 매핑하며, 콘네스 병합에 의해 $ {}_0B_n \mathbin{\mathop{\boxtimes}_{B_0}} {}_0B_m \cong {}_0B_{n+m} $의 병합 규칙이 성립한다.
• 자유곱의 생성자들 $ x_1, x_2, \dots $을 사용하여 가чёт 생성된 카테고리로 일반화할 수 있으며, 새로운 카테고리 $ \mathsf{C} $를 구성하고, 동일한 $ B_0 $-구성을 $ \mathsf{C} $에 적용한다.
• 결과로 얻어진 $ B_0 $는 분리 가능하고, 단순하며, 유니탈이며, 정확하고, 고유한 추적을 갖는다. $ B_0 $-이중모듈러스는 GJS-구성법과 포크 공간 체계를 통해 구성된다.
• 결과는 하나의 분리 가능 C*-대수와 고유한 추적을 가진 대수가 모든 강한 C*-텐서 카테고리를 실현할 수는 없지만, C*-대수가 카테고리에 따라 달라지도록 허용하면 이러한 실현이 가능함을 확인한다.