[논문 리뷰] Realizations of simple affine vertex algebras and their modules: the cases $\widehat{sl(2)}$ and $\widehat{osp(1,2)}$

Dražen Adamović|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 56인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 최소 Virasoro, $N=1$ Neveu-Schwarz, 및 격자 vertex 대수의 텐서곱 안에 포함되는 부분대수로서, $k \notin \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 인 적합한 수준에서 단순 아핀 vertex 대수 $V_k(\text{sl}(2))$ 및 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 의 실현을 구축한다. 이러한 통합을 통해 무게, 윌리엄스, 로그함수, 그리고 이완된 최고차수 모듈의 가닥을 구성하고, 특성 공식 검증과 모듈 분해를 통해 $V_k(\text{sl}(2))$ 에 대한 열화된 윌리엄스 모듈의 분류 및 불가약성을 증명한다.

ABSTRACT

We study embeddings of the simple admissible affine vertex algebras $V_k(sl(2))$ and $V_k(osp(1,2))$, $k otin {\Bbb Z}_{\ge 0}$, into the tensor product of rational Virasoro and $N=1$ Neveu-Schwarz vertex algebra with lattice vertex algebras. We prove that the admissible affine vertex algebra $V_k(sl(2))$ can be embedded into vertex algebra $L^{Vir} (c_{p,p'}, 0) \otimes Π(0)$ where $L^{Vir} (c_{p,p'}, 0) $ is suitable minimal Virasoro vertex algebra and $Π(0)$ is a vertex algebra of lattice type. By using these realizations we construct a family of weight, logarithmic and Whittaker $\widehat{sl(2)}$ and $\widehat{osp(1,2)}$--modules. As an application, we construct all irreducible degenerate Whittaker modules for $V_k(sl(2))$.

연구 동기 및 목표

• 최소 Virasoro, $N=1$ Neveu-Schwarz, 및 격자 vertex 대수를 포함하는 텐서곱의 부분대수로서, $k \notin \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 인 적합한 수준에서 단순 아핀 vertex 대수 $V_k(\text{sl}(2))$ 와 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 의 명시적 실현을 구축하는 것.
• 이러한 대수에 대한 로그함수, 윌리엄스, 이완된 최고차수 모듈의 vertex 대수적 구성 제공.
• 실현된 구조를 이용하여 $V_k(\text{sl}(2))$ 에 대한 열화된 윌리엄스 모듈의 분류 및 불가약성 증명.
• 실현 프레임워크를 $\text{osp}(1,2)$ 에 확장하고, $\widehat{osp(1,2)}$-모듈에 대한 특성 공식 수립.

제안 방법

• $k+2 = p/p'$, $p,p' \geq 2$, $(p,p')=1$ 인 경우, 비자명한 준동형사상 $\Phi_1: V_k(\text{sl}(2)) \to L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},0) \otimes \Pi(0)$ 을 통한 $V_k(\text{sl}(2))$ 의 통합.
• $k+3/2 = p/(2q)$, $p,q \geq 2$, $(\frac{p-q}{2},q)=1$ 인 경우, $V_k(\text{osp}(1,2))$ 를 $L^{\text{ns}}(c_{p,q},0) \otimes F \otimes \Pi^{1/2}(0)$ 의 부분대수로 실현.
• 헤이젠베르크 및 페르미온 vertex 대수의 구조를 이용하여 $\Pi(0)$-모듈의 무게 및 윌리엄스 모듈 구성.
• 기존의 특성 공식을 활용하여, 이완된 최고차수 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈을 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ 로 실현.
• 스크리닝 연산자와 모듈 분해를 이용하여 로그함수 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈 구성.
• 특성 일치 및 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈 동형사상을 통한 윌리엄스 및 이완된 모듈의 불가약성 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 아핀 vertex 대수 $V_k(\text{sl}(2))$ 와 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 가 최소 Virasoro, $N=1$ Neveu-Schwarz, 및 격자 vertex 대수의 텐서곱의 부분대수로 실현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 실현을 통해 $V_k(\text{sl}(2))$ 와 $V_k(\text{osp}(1,2))$ 의 윌리엄스, 로그함수, 이완된 최고차수 모듈의 구조는 어떠한가?
• RQ3 실현 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ 에서부터 불가약한 이완된 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈의 특성 공식을 회복할 수 있는가?
• RQ4 구성된 $V_k(\text{sl}(2))$ 의 윌리엄스 모듈은 열화된 것으로서 불가약한가? 그리고 $A_1^{(1)}$-윌리엄스 모듈의 분류를 완성하는가?
• RQ5 실현 프레임워크는 $\text{osp}(1,2)$ 에까지 확장될 수 있으며, 이를 통해 알려진 특성 공식을 가진 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-등급 모듈을 구성하고 분류할 수 있는가?

주요 결과

• $k+2 = p/p'$, $p,p' \geq 2$, $(p,p')=1$ 인 경우, 비자명한 준동형사상 $\Phi_1: V_k(\text{sl}(2)) \to L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},0) \otimes \Pi(0)$ 이 존재하여 vertex 대수적 실현을 확립한다.
• 모든 이완된 최고차수 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈은 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_{-1}(\lambda)$ 로 실현되며, 그 특성은 크루츠리그-라이두트 공식과 일치한다.
• $V_k(\text{sl}(2))$ 에 대한 열화된 윌리엄스 모듈은 $L^{\text{Vir}}(d_{p,p'},h) \otimes \Pi_\lambda$ 로 실현되어, $A_1^{(1)}$-윌리엄스 모듈의 분류를 완성한다.
• 스크리닝 연산자가 실현된 텐서곱 구조에 작용하여 로그함수 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈이 구성된다.
• 불가약한 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-등급 $V_k(\text{osp}(1,2))$-모듈 $\mathcal{F}^\lambda$ 는 $L^{\text{Vir}}(d_{3,4},\frac{1}{16}) \otimes \Pi_{-1}^{1/2}(\lambda)$ 로 실현되며, 특성은 $z^{2\lambda-k}\frac{f_2(\tau)\delta(z)}{\sqrt{2}\eta(\tau)^2}$ 이다.
• $V_k(\text{osp}(1,2))$-모듈로서의 윌리엄스 모듈 $M^\pm \otimes \Pi_\lambda$ 는 $V_k(\text{sl}(2))$-모듈의 동형사상에 의해 불가약함을 증명한다.