[논문 리뷰] Reciprocal cyclotomic polynomials

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 11.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\Psi_n(x)$로 정의된 역순 원분류 다항식의 계수를 조사한다. 이는 $(x^n - 1)/\Phi_n(x)$로 정의되며, 비원시 $n$차 단위근을 근으로 가지는 모닉 정수 계수 다항식이다. 이 논문은 계수들이 절댓값에서 대칭적이고 자주 작다(平坦, flat), 그러나 임의로 크게 증가할 수 있음을 입증한다. 특히, 첫 번째 비평탄 케이스는 $n=561$에서 발생하며, 이는 최소의 카마이kle 수이자 $c_{561}(17) = -2$이다. 논문은 서로 다른 소수 $p<q<r$에 대해 $\Psi_{pqr}(x)$의 계수로 모든 정수가 나타남을 증명하여 계수의 무한한 증가를 보여준다.

ABSTRACT

Let $Ψ_n(x)$ be the monic polynomial having precisely all non-primitive $n$th roots of unity as its simple zeros. One has $Ψ_n(x)=(x^n-1)/Φ_n(x)$, with $Φ_n(x)$ the $n$th cyclotomic polynomial. The coefficients of $Ψ_n(x)$ are integers that like the coefficients of $Φ_n(x)$ tend to be surprisingly small in absolute value, e.g. for $n&lt;561$ all coefficients of $Ψ_n(x)$ are $\le 1$ in absolute value. We establish various properties of the coefficients of $Ψ_n(x)$.

연구 동기 및 목표

• 역순 원분류 다항식 $\Psi_n(x) = (x^n - 1)/\Phi_n(x)$의 구조와 계수 행동을 분석하는 것. 이는 $n$의 모든 진약수 $d$에 대해 $\Phi_d(x)$의 곱으로 정의된다.
• 원분류 다항식 $\Phi_n(x)$에서 잘 알려진 계수의 작음을 반영하는 $\Psi_n(x)$의 계수 상쇄 정도를 이해하고, 이러한 상쇄가 언제 실패하는지 파악하는 것.
• $V_n = \{c_n(k)\}$의 계수 집합을 특성화하는 것. 특히 $-1, 0, 1$을 포함할 조건과 절댓값이 1을 초과하는 계수가 나타나는 조건을 규명하는 것.
• $\Psi_n(x)$의 계수들이 유계인지 무계인지 조사하고, $|c_n(k)| > 1$가 성립하는 최소의 $n$을 특정하는 것. 특히 카마이클 수와의 관련성을 고려한다.

제안 방법

• 논문은 멜리우스 역전개를 사용하여 항등식 $\Phi_n(x) = \prod_{d|n} (x^d - 1)^{\mu(n/d)}$를 유도하고, 이로부터 $\Psi_n(x) = \prod_{d|n, d<n} \Phi_d(x)$를 도출함으로써 정수 계수를 보장한다.
• 논문은 멜리우스 함수 $\mu(n)$과 라디칼 함수 $\text{rad}(n)$의 성질을 적용하여 재귀적 항등식을 유도한다. 예를 들어, 홀수 $n$에 대해 $\Psi_{2n}(x) = (1 - x^n)\Psi_n(-x)$이며, $p|n$이면 $\Psi_{pn}(x) = \Psi_n(x^p)$이다.
• 논문은 기능적 방정식 $\Psi_n(x) = -x^{n - \varphi(n)} \Psi_n(1/x)$를 사용하여 대칭성을 입증한다. 즉, 계수 $c_n(k)$가 존재하면 $-c_n(n - \varphi(n) - k)$도 존재하므로 $V_n$은 0을 중심으로 대칭적이다.
• 논문은 $n$이 두 개 이하의 서로 다른 홀수 소인수를 가질 경우, $\Psi_n(x)$가 평탄하다(모든 계수가 $\{-1, 0, 1\}$에 속함)는 것을 증명한다. 이는 구조적 분해와 계수 분석을 통해 이루어진다.
• 높은 차수의 $n$에 대해서는 산술급수 내 소수에 관한 딜리클레 정리를 사용하여, $p<q<r$인 소수의 수열을 구성함으로써 $\Psi_{pqr}(x)$가 임의로 큰 계수를 갖도록 한다.
• 논문은 명시적 예제를 계산하고, 알려진 공식을 통해 $\Phi_{pq}(x)$의 구조를 활용하여 계수 값을 유도한다. 특히 $n = 561$과 크레니크 카마이클 수의 경우에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역순 원분류 다항식 $\Psi_n(x)$의 계수는 어떤 구조를 가지며, $\Phi_n(x)$의 계수와 어떻게 비교되는가?
• RQ2 어떤 $n$에 대해 $\Psi_n(x)$의 계수들이 절댓값으로 1 이하로 유계이며, $|c_n(k)| > 1$가 성립하는 최소의 $n$은 무엇인가?
• RQ3 $\Psi_n(x)$의 계수로 모든 정수가 나타나는가? 만약 그렇다면, 어떤 $n$에 대해 나타나는가?
• RQ4 $n$이 카마이클 수일 경우 $\Psi_n(x)$의 행동은 어떠한가? 그리고 모든 이러한 $n$에 대해 $h(\Psi_n(x)) > 1$이 성립하는가?
• RQ5 $\{c_n(k)\}$의 계수 집합이 모든 정수를 커버할 수 있는가? 주어진 $m$에 대해 $|c_n(k)| = m$가 성립하는 최소의 $n$은 무엇인가?

주요 결과

• 계수의 절댓값이 1을 초과하는 첫 번째 $n$은 $n = 561 = 3 \cdot 11 \cdot 17$이며, 이 경우 $c_{561}(17) = -2$이다. 이는 최소의 카마이클 수이다.
• 모든 $n$이 두 개 이하의 서로 다른 홀수 소인수를 가질 경우, $\Psi_n(x)$는 평탄하다: 모든 계수는 $\{-1, 0, 1\}$에 속한다. 이는 레마 4에서 입증되었다.
• $p < q < r$인 서로 다른 소수에 대해 $n = pqr$일 경우 계수 집합 $\{c_{pqr}(k)\}$는 모든 정수를 포함한다: $\{c_{pqr}(k)\} = \mathbb{Z}$. 이는 정리 8에서 증명되었다.
• 크레니크 카마이클 수 $C = (6k+1)(12k+1)(18k+1)$에 대해 계수 $c_C(24k+2) = -2$이므로 $h(\Psi_C(x)) = 2$이며, 이러한 다항식은 평탄하지 않다.
• 계수의 절댓값이 $m$이 되는 최소의 $n$은 표로 제시된다: $m=2$일 경우 $n_0=561$; $m=3$일 경우 $n_0=1155$; $m=10$일 경우 $n_0=11305$이며, 이 $n_0$는 $m=10$에서 $21$까지 최소로 유지된다.
• 계수 $c_n(k)$는 대칭성을 만족한다: $c_n(k) = -c_n(n - \varphi(n) - k)$이므로 계수 집합 $V_n$은 0을 중심으로 대칭적이다. 만약 $n - \varphi(n)$가 짝수이면 $c_n((n - \varphi(n))/2) = 0$이다.