[논문 리뷰] Reconfiguration of Colourings and Dominating Sets in Graphs: a Survey

Christina M. Mynhardt, Shahla Nasserasr|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 12.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 종합 검토는 그래프 색칠 및 지배 집합의 재구성 그래프에 대한 포괄적인 개요를 제공하며, k-색칠, 간선 색칠 및 다양한 지배 재구성 모델(예: k-지배 그래프, γ-그래프(점프 및 슬라이드), 비중복성 그래프)에 초점을 맞춘다. 기본 정의를 수립하고 연결성, 지름, 실현 가능성 등의 구조적 성질을 검토하며, 모든 그래프가 슬라이드 γ-그래프로 실현 가능하고, 나무의 γ-그래프는 연결되고 이분 그래프임을 포함한 주요 결과를 강조한다.

ABSTRACT

We survey results concerning reconfigurations of colourings and dominating sets in graphs. The vertices of the $k$-colouring graph $\mathcal{C}_{k}(G)$ of a graph $G$ correspond to the proper $k$-colourings of a graph $G$, with two $k$-colourings being adjacent whenever they differ in the colour of exactly one vertex. Similarly, the vertices of the $k$-edge-colouring graph $\mathcal{EC}_{k}(G)$ of $g$ are the proper $k$-edge-colourings of $G$, where two $k$-edge-colourings are adjacent if one can be obtained from the other by switching two colours along an edge-Kempe chain, i.e., a maximal two-coloured alternating path or cycle of edges. The vertices of the $k$-dominating graph $\mathcal{D}_{k}(G)$ are the (not necessarily minimal) dominating sets of $G$ of cardinality $k$ or less, two dominating sets being adjacent in $\mathcal{D}_{k}(G)$ if one can be obtained from the other by adding or deleting one vertex. On the other hand, when we restrict the dominating sets to be minimum dominating sets, for example, we obtain different types of domination reconfiguration graphs, depending on whether vertices are exchanged along edges or not. We consider these and related types of colouring and domination reconfiguration graphs. Conjectures, questions and open problems are stated within the relevant sections.

연구 동기 및 목표

• 그래프 색칠 및 지배 집합에 대한 재구성 그래프 관련 기존 연구를 체계화하고 요약하는 것.
• k-색칠, 간선 색칠, k-지배, γ-그래프 등의 핵심 재구성 모델의 정의 및 구조적 성질를 명확히 하는 것.
• 특히 실현 가능성, 연결성, 지름 상한 등에 관해 열려 있는 문제와 추측을 규명하는 것.
• 재구성 그래프와 조합적 그레이 코드 간의 연관성을 수립하고, 마르코프 체인을 통한 근사 수량 계산에 대한 함의를 부각하는 것.
• 그래프 재구성 분야의 알고리즘적, 구조적, 실현 가능성 질문을 탐색하는 연구자들을 위한 통합 참조 자료를 제공하는 것.

제안 방법

• G의 정점에 대한 적절한 k-색칠을 정점으로 하는 그래프 𝒞ₖ(G)를 정의하며, 두 색칠이 정확히 한 개의 정점에서만 다를 경우에 인접함으로 정의한다.
• Kempe 체인 전환을 이용해 k-간선 색칠 그래프 𝒞𝓔ₖ(G)를 정의하며, 두 간선 색칠이 서로 다른 두 색깔이 최대한의 교대된 두 색깔의 경로 또는 사이클을 따라 바뀌었을 경우에 인접함으로 정의한다.
• 크기가 최대 k인 지배 집합을 정점으로 하는 k-지배 그래프 𝒟ₖ(G)를 정의하며, 한 집합이 다른 집합으로부터 단일 정점의 추가 또는 삭제로 얻어질 수 있을 경우에 인접함으로 정의한다.
• γ-그래프를 두 가지 모델로 정의한다: 점프 γ-그래프 𝒥(G,γ)는 단일 정점의 교체로 정의되며, 슬라이드 γ-그래프 𝒮(G,γ)는 교체되는 정점들이 서로 인접해야 한다는 조건이 추가된다.
• Johnson 그래프 J(n,k)를 사용해 실현 가능한 γ-그래프를 특성화하며, H가 𝒥(G,γ)로 실현 가능할 조건은 H가 J(n,k)의 유도 부분그래프임을 보여준다.
• 구조적 그래프 이론과 조합적 구성 기법을 적용해 실현 가능성 결과를 증명하며, 모든 그래프가 슬라이드 γ-그래프 𝒮(G,γ)로 실현 가능하다는 것을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 그래프들이 어떤 그래프 G에 대해 슬라이드 γ-그래프 𝒮(G,γ)로 실현 가능할 수 있는가?
• RQ2 나무의 γ-그래프에 대한 연결성과 지름 상한에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 이분 그래프는 이분 그래프의 γ-그래프로 실현 가능할 수 있는가?
• RQ4 모든 그래프가 비중복성 그래프(IR-그래프)로 실현 가능할까? 어떤 특정 그래프들은 실현 불가능한가?
• RQ5 G의 구조와 그 γ-그래프의 구조적 성질(예: 지름, 최대 차수) 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 그래프는 무한히 많은 수의 그래프 G에 대해 슬라이드 γ-그래프 𝒮(G,γ)로 실현 가능하며, 이는 정리 4.5에 의해 증명되었다.
• 모든 나무 T에 대해 γ-그래프 𝒮(T,γ)는 연결되고 이분 그래프이며, γ-그래프 𝒥(T,γ) 역시 연결되어 있음이 Fricke 등 [31]에 의해 확인되었다.
• 임의의 순서 n인 나무 T에 대해 γ(T) = k 및 s개의 스템을 가진 경우, 𝒥(T,γ)와 𝒮(T,γ)의 최대 차수는 최대 n−k이며, 지름은 각각 2k 및 2(k−s)로 상한이 정해져 있으며, 이는 정리 4.6에 의해 보여졌다.
• 나무 T에 대해 𝒮(T,γ)의 정점 수는 |V(𝒮(T,γ))| ≤ ((1+√13)/2)^γ(T)를 만족하며, 이 상한은 일부 무한한 나무의 무리에 대해 날카로운 것이다.
• 연결된 cograph G에 대해 점프 γ-그래프 𝒥(G,γ)의 지름은 최대 2이며, 지름이 1이 되는 것은 G가 유니버설 정점(모든 정점과 인접한 정점)을 가질 때에만 성립한다.
• n≥5인 경로 Pₙ과 사이클 Cₙ은 IR-그래프로 실현 가능하지 않으며, 순서 4인 연결된 IR-그래프로 가능한 것은 K₄와 C₄뿐이며, 이는 정리 4.7 및 관련 결과에 의해 보여졌다.