[논문 리뷰] Reconsider HHL algorithm and its related quantum machine learning algorithms

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 HHL 양자 알고리즘과 관련된 양자 기계학습(QML) 방법을 재평가하며, 이전에 간과되었던 단점들이 효율성, 정확도 및 실용성에 심각한 영향을 미친다고 밝힌다. 주요 문제 두 가지를 제기한다: 고유값 압축 매개변수 $ t $ 에 대한 민감도로, 이는 오차를 증폭시키고 복잡성을 증가시킨다; 그리고 고전적 해 복구 과정에서 노름에 따라 변하는 오차 전파로, 이는 QML 응용 분야인 선형 회귀, 분류, 서포트 벡터 기반 머신에서 약속된 양자 속도 향상의 기반이 흔들린다.

ABSTRACT

HHL quantum algorithm to solve linear systems is one of the most important subroutines in many quantum machine learning algorithms. In this work, we present and analyze several other caveats in HHL algorithm, which have been ignored in the past. Their influences on the efficiency, accuracy and practicability of HHL algorithm and several related quantum machine learning algorithms will be discussed. We also found that these caveats affect HHL algorithm much deeper than the already noticed caveats. In order to obtain more practical quantum machine learning algorithms with less assumptions based on HHL algorithm, we should pay more attention to these caveats.

연구 동기 및 목표

• HHL 양자 알고리즘에서 실용성과 효율성에 영향을 미치는 기술적 단점들을 이전에 간과된 채로 식별하고 분석하는 것.
• 특히 압축 매개변수 $ t $ 의 선택과 노름에 의존하는 오차 증폭이 HHL 및 관련된 양자 기계학습 알고리즘의 성능에 미치는 영향를 검토하는 것.
• 선형 회귀, 지도 분류, 최소 제곱 서포트 벡터 머신과 같은 핵심 QML 응용 분야에서의 양자 속도 향상의 실용적 타당성을 평가하는 것.
• HHL의 양자 상태 출력 $ |\tilde{x}\rangle $ 가 고전적 해 복구를 효율적으로 가능하게 한다는 가정을 도전하며, 오차가 $ \|x\| $ 에 비례하여 증폭된다는 것을 보여주는 것.
• 이 숨겨진 제약 조건을 해결하는 것이 강건하고 가정이 적은 양자 기계학습 알고리즘 개발에 필수적이라는 주장을 펼치는 것.

제안 방법

• 압축 매개변수 $ t $ 가 양자 위상 추정에서 수행하는 역할을 분석하여, $ \lambda t \in [0, 2\pi) $ 가 되어야 하며, 이에 따라 $ t $ 를 신중히 선택해야 오차 증폭을 방지할 수 있음을 보여준다.
• $ \lambda $ 를 $ \lambda t $ 를 통해 추정할 때 오차가 $ t $ 에 비례하여 증가함을 보이며, 이는 알고리즘 복잡성을 증가시키고 정확도를 낮춘다.
• 노름 증폭 효과를 도입: $ |\tilde{x}\rangle $ 에서의 오차는 고전적 해 $ x $ 에서 $ \|x\| \cdot \epsilon $ 로 전이되며, 이는 해의 노름에 민감한 알고리즘을 만들어낸다.
• 이 분석을 선형 회귀(Schuld 등), 분류(Lloyd 등), 최소 제곱 SVM(Rebentrost 등)을 포함한 QML 알고리즘에 적용하여 동일한 단점들이 전파됨을 보여준다.
• SVM의 하미르토니안 시뮬레이션에서의 추적 추정 문제를 분석하여, 효율적인 추적 추정이 가능하다면 NP-완전 문제를 그르지 않는 한 빠르게 해결할 수 있음을 증명하며, 기존의 복잡도 한계와 모순됨을 보여준다.
• 낮은 질량 행렬의 경우 압축 매개변수 $ t $ 가 쉽게 최적화될 수 없으며, 특히 $ t = 1/M $ 일 때 고유값 해상도가 떨어져 알고리즘이 효과가 없어질 수 있음을 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 위상 추정에서 압축 매개변수 $ t $ 의 선택이 HHL 알고리즘의 정확도와 복잡성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 해 벡터의 노름 $ \|x\| $ 이 고전적 해 복구 과정에서 $ |\tilde{x}\rangle $ 에서의 오차를 어느 정도 증폭시키는가?
• RQ3 왜 큰 행렬의 추적 추정은 고전적으로 실현 가능하지 않은가? 그리고 이는 QML의 하미르토니안 시뮬레이션에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 HHL의 단점—특히 $ t $ 선택과 노름 증폭—이 양자 기계학습 응용 분야에서 약속된 양자 속도 향상에 어떤 영향을 미칠 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 이러한 숨겨진 제약 조건을 해결하여 HHL 기반 QML 알고리즘의 실용적 타당성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• HHL에서 압축 매개변수 $ t $ 의 선택은 추정 오차를 $ t $ 배로 증폭시켜 알고리즘의 복잡성을 증가시키고 정확도를 낮춘다. 특히 $ \lambda t $ 가 $ [0, 2\pi) $ 에 압축되어야 할 경우 더욱 그러하다.
• 양자 상태 $ |\tilde{x}\rangle $ 의 오차는 고전적 해 복구 과정에서 노름 $ \|x\| $ 에 의해 증폭되며, 이는 $ x $ 에서의 오차가 $ \|x\| \cdot \epsilon $ 가 되어 작은 $ \epsilon $ 에서도 큰 오차가 발생할 수 있음을 의미한다.
• 일반적으로 행렬의 추적 $ \text{Tr}(K) $ 를 양자 알고리즘에서 효율적으로 추정하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 이는 구조가 없는 검색 문제를 그르지 않는 한 고버의 알고리즘보다 더 빠르게 해결할 수 있게 하며, 이는 알려진 양자 복잡도 한계와 모순되기 때문이다.
• 최소 제곱 SVM에서 $ \text{Tr}(K)/M $ 을 오차 $ \epsilon $ 로 추정하면 $ \text{Tr}(K) $ 에서 오차가 $ M\epsilon $ 가 되며, 이는 $ \widetilde{O}(M/\epsilon) $ 의 시간이 필요하게 되어 잠재적 속도 향상 효과를 상쇄한다.
• 낮은 질량 행렬의 경우 $ t = 1/M $ 을 선택하면 고유값 해상도가 떨어져 알고리즘이 효과가 없어지며, 문제의 해가 고유값이 아닌 고유벡터에만 의존하는 경우를 제외하고는 그렇지 않다.
• 이러한 단점들은 이전에 인식된 것보다 더 깊고 영향력이 크며, 알고리즘 설계 단계에서 이에 대응하지 않는 한 HHL 및 그 QML 확장의 실용성에 근본적인 제약을 가한다.