[논문 리뷰] Reconsideration of the multivariate moment problem and a new method for approximating multivariate integrals

Ognyan Kounchev, Hermann Render|ArXiv.org|2005. 09. 16.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 구면 조화함수에서 라플라스-푸리에 계수들이 음이 아닌 측도인 가짜비음성 측도(pseudopositive measures)를 도입하여 다변량 모멘트 문제를 재구성한다. 다항식을 정확히 2p−1차까지 적분할 수 있는 최소지지 측도를 구성함으로써, 기존의 가우스-야코비 구분법을 일반화한 새로운 구분 공식을 개발하여 다변량 적분의 안정적이고 고정밀 근사가 가능하도록 한다.

ABSTRACT

Due to its intimate relation to Spectral Theory and Schrödinger operators, the multivariate moment problem has been a subject of many researches, so far without essential success (if one compares with the one--dimensional case). In the present paper we reconsider a basic axiom of the standard approach - the positivity of the measure. We introduce the so--called pseudopositive measures instead. One of our main achievements is the solution of the moment problem in the class of the pseudopositive measures. A measure \ $μ$ is called pseudopositive if its Laplace-Fourier coefficients $μ_{k,l}(r) ,$ $r\geq0,$ in the expansion in spherical harmonics are non--negative. Another main profit of our approach is that for pseudopositive measures we may develop efficient ''cubature formulas'' by generalizing the classical procedure of Gauss--Jacobi: for every integer \ $p\geq1$ we construct a new pseudopositive measure $ν_{p}$ having ''minimal support'' and such that $μ(h) =ν_{p}(h) $ for every polynomial $h$ with $Δ^{2p}h=0.$ The proof of this result requires application of the famous theory of Chebyshev, Markov, Stieltjes, Krein for extremal properties of the Gauss-Jacobi measure, by employing the classical orthogonal polynomials $p_{k,l;j},$ $j\geq0,$ with respect to every measure $μ_{k,l}.$ As a byproduct we obtain a notion of multivariate orthogonality defined by the polynomials $p_{k,l;j}$. A major motivation for our investigation has been the further development of new models for the multivariate Schrödinger operators, which generalize the classical result of M. Stone saying that the one--dimensional orthogonal polynomials represent a model for the self--adjoint operators with simple spectrum.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 단변량 모멘트 이론을 고차원으로 확장하는 데 오랫동안 애로를 겪어온 문제를 해결하기 위해, 비음성 조건을 확인하는 것이 어려운 고차원에서의 문제를 해결한다.
• 비음성 측도의 한계를 극복하기 위해, 서명이 있는 새로운 측도인 가짜비음성 측도를 도입함으로써 다변량 모멘트 문제의 한계를 극복한다.
• 가우스-야코비 구분법의 일반화를 통해 다변량 적분을 안정적이고 효율적으로 근사하는 방법을 개발한다.
• 구면 조화함수와 반경 방향 수직 다항식을 기반으로 한 다변량 수직성 프레임워크를 구축한다.
• 스펙트럼 이론과 역문제 등에 적용 가능한 다항조화 함수의 적분 근사에 사용할 수 있는 계산 도구를 제공한다.

제안 방법

• 모든 r ≥ 0에 대해 라플라스-푸리에 계수 μ_{k,l}(r)가 음이 아닌 측도를 가짜비음성 측도로 정의한다.
• 함수를 구면 조화함수로 분해하고, 다변량 문제를 [0, ∞)에서의 반경 측도 μ_{k,l}로 환원한다.
• 체비셰프, 마르코프, 슈틸체스, 크라인의 고전적 극값 이론을 적용하여 각 μ_{k,l}에 대해 최소지지 측도 σ_{k,l}^{(s)}를 구성한다.
• 모든 다항식 h에 대해 Δ^{2p}h = 0인 경우 ∫h dμ = ∫h dν^{(s)}를 만족하도록 측도 σ_{k,l}^{(s)}를 조합하여 구분 공식 ν^{(s)}를 구성한다.
• 각 μ_{k,l}에 대해 수직 다항식 p_{k,l;j}를 사용하여 가우스-야코비 유형의 절차를 통해 구분 노드와 가중치를 구성한다.
• 다항식 공간의 구조에 따라 노드 수와 조화함수 차수를 증가시킴으로써 수치적 안정성을 확보하며, 수렴은 다항조화 공간의 구조에 의해 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 다변량 모멘트 문제는 서명이 있는 측도를 允허하면서도 계산 가능성을 유지할 수 있도록 재구성할 수 있는가?
• RQ2 정확도와 안정성을 유지하면서도 다변량 가우스-야코비 구분법의 일반화를 구성할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건을 만족해야 측도의 모멘트가 최소지지 서명 측도로 근사될 수 있는가?
• RQ4 구면 조화함수를 사용하여 다변량 설정으로 수직 다항식 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 다항조화 함수는 다변량 구분 공식의 정확성 공간을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 비음성 라플라스-푸리에 계수를 갖는 가짜비음성 측도의 범주 내에서 다변량 모멘트 문제의 해를 확립한다.
• 모든 정수 p ≥ 1에 대해, Δ^{2p}h = 0인 모든 다항식 h에 대해 ∫h dμ = ∫h dν_p를 만족하는 최소지지 가짜비음성 측도 ν_p를 구성한다.
• 함수를 구면 조화함수로 분해하고 반경 성분에 대해 단변량 구분법을 적용함으로써, 가우스-야코비 구분법을 다변량 적분으로 일반화한다.
• 최적의 노드와 가중치의 존재를 보장하기 위해 반경 측도 μ_{k,l}에 고전적 극값 이론을 적용한다.
• 노드 수와 조화함수 차수를 증가시켜도 구분 공식의 수치적 안정성이 유지된다.
• 역문제와 포텐셜 이론과 관련된 다항조화 측도의 등가성에 대한 새로운 프레임워크를 제공한다.