[논문 리뷰] Reconsidering the Ostrogradsky theorem: Higher-derivatives Lagrangians, Ghosts and Degeneracy

Alexander Ganz, Karim Noui|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 02.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 60인용 수 30

한 줄 요약

오스트로그라드스키 불안정성(Ostrogradsky instability)에 대한 포괄적 검토, 고차 미분 이론에서의 degeneracy가 유령을 피하는 방법, 다변수 확장, 양자적 측면 및 공변 이론 포함, 디저너러시 제약에 대한 새로운 결과를 포함.

ABSTRACT

We review the fate of the Ostrogradsky ghost in higher-order theories. We start by recalling the original Ostrogradsky theorem and illustrate, in the context of classical mechanics, how higher-derivatives Lagrangians lead to unbounded Hamiltonians and then lead to (classical and quantum) instabilities. Then, we extend the Ostrogradsky theorem to higher-derivatives theories of several dynamical variables and show the possibility to evade the Ostrogradsky instability when the Lagrangian is "degenerate", still in the context of classical mechanics. In particular, we explain why higher-derivatives Lagrangians and/or higher-derivatives Euler-Lagrange equations do not necessarily lead to the propagation of an Ostrogradsky ghost. We also study some quantum aspects and illustrate how the Ostrogradsky instability shows up at the quantum level. Finally, we generalize our analysis to the case of higher order covariant theories where, as the Hamiltonian is vanishing and thus bounded, the question of Ostrogradsky instabilities is subtler.

연구 동기 및 목표

• 고전 역학에서 원래의 Ostrogradsky 정리와 그것이 고차 미분 라그랑지안에 미치는 함의를 요약한다.
• 다중 동적 변수 시스템에 대해 라그랑지안의 degeneracy가 어떻게 Ostrogradsky 불안정성을 피할 수 있는지 설명한다.
• degeneracy가 어떻게 고차 차수의 운동 방정식을 하위 차수 시스템으로 축소하고 주 제약(primary constraints)/이차 제약(secondary constraints)을 식별하는지 illustrate 한다.
• Pais-Uhlenbeck와 같은 특정 모델에서의 양자적 측면과 일반 변수와의 결합을 포함하여 Ostrogradsky 유령의 운명을 논의한다.
• 공변 이론으로 논의를 일반화하고 온-샬(on-shell)에서 해밀토니안이 0이 될 때의 미묘함을 다룬다.

제안 방법

• L(7) 유형 라그랑지안에 대한 표준 Ostrogradsky 분석을 제시하고 불연속적인 해밀토니안을 도출한다.
• 다변수 및 결합 시스템으로 확장하여 degeneracy가 발생하는 조건을 보인다.
• 주 제약 및 이차 제약이 어떻게 유령 자유 진화를 보장하는지 보이도록 해밀토니안 분석을 수행한다.
• 고차 이상으로도 두 번째 차수의 유도 방정식으로 축소되는 역학식의 구체적 degeneracy 라그랑지안 형태를 제공한다.
• 양자화 이슈를 검토하고 양자 수준에서 Ostrogradsky 불안정성이 결합 및 주파수 구조에 따라 어떻게 나타나거나 피할 수 있는지 논의한다.
• 해밀토니안이 온-샬에서 0이 될 때의 미묘함을 논의하고, 공변 이론으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 미분 라그랑지안이 어떤 조건에서 Ostrogradsky 유령을 전파하는가?
• RQ2 라그랑지안 또는 운동 에너지 매트릭스의 degeneracy가 유령 자유 차원을 어떻게 제거하거나 숨기는가?
• RQ3 다변수 시스템에서 유령 없는 진화를 보장하는 해밀토니안 및 제약 구조는 무엇인가?
• RQ4 양자적 측면에서 고차 이론의 Ostrogradsky 불안정성은 어떻게 드러나거나 억제되는가?
• RQ5 Ostrogradsky 분석을 공변적이고 일반 상대론적 설정으로 확장할 때 어떤 변화가 일어나는가?

주요 결과

• 비degenerate 고차 미분 라그랑지안은 일반적으로 Ostrogradsky 유령과 함께 해밀토니안이 무한대로 발달한다.
• Degeneracy는 주 제약 및 이차 제약을 도입하여 Ostrogradsky 유령을 제거하고 유효 자유도 수를 축소할 수 있다.
• 해밀토니안의 결정식 det(L_{\u00b7\u000b7})이 중심 역할을 한다: det(K)=0은 degeneracy를 시사하고 유령 제거 가능성을 나타낸다.
• degenerate 라그랑지안은 고차 도함수가 존재하더라도 유도된 두 번째 차수의 운동 방정식을 얻을 수 있다.
• 양자 분석(Pais-Uhlenbeck 등)에서는 결합 구조와 주파수 구성에 따라 불안정성이 나타나거나 피할 수 있음을 보인다.
• 공변 이론에서 온-샬에서 해밀토니안이 0이 되는 경우 미묘함이 생기며, 유령 자유 진화를 신중하게 평가해야 한다.