[논문 리뷰] Reconstruction mechanism with self-growing equations for hyper, improper and proper fractional chaotic systems through a novel non-Lyapunov approach

Fei Gao, Feng-Xia Fei외 4명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 29.

Chaos control and synchronization인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유전적 연산 기반의 자가 성장 분수 미분 방정식 메커니즘을 이용해 초, 비정상 및 정상 분수계수 혼돈 시스템에 대한 새로운 비-리아프노프 재구성 방법을 제안한다. 분수 미분 방정식을 독립 변수로 간주하고, 음이 아닌 특수 함수 목표 함수를 최소화함으로써, 매개변수와 차수 모두 완전히 미지인 경우에도 높은 정밀도와 강건성을 갖는 복잡한 혼돈 시스템을 성공적으로 재구성한다. 시뮬레이션을 통해 로렌츠, 켄, 루스러 및 기타 시스템에서 수렴하는 정확한 모델을 도출함으로써 이를 입증하였다.

ABSTRACT

Identification of the unknown parameters and orders of fractional chaotic systems is of vital significance in controlling and synchronization of fractional-order chaotic systems. However there exist basic hypotheses in traditional estimation methods, that is, the parameters and fractional orders are partially known or the known data series coincide with definite forms of fractional chaotic differential equations except some uncertain parameters and fractional orders. What should I do when these hypotheses do not exist? In this paper, a non-Lyapunov novel approach with a novel united mathematical model is proposed to reconstruct fractional chaotic systems, through the fractional-order differential equations self-growing mechanism by some genetic operations ideas independent of these hypotheses. And the cases of identifying the unknown parameters and fractional orders of fractional chaotic systems can be thought as special cases of the proposed united mathematical reconstruction method in non-Lyapunov way. The problems of fractional-order chaos reconstruction are converted into a multiple modal non-negative special functions' minimization through a proper translation, which takes fractional-order differential equations as its particular independent variables instead of the unknown parameters and fractional orders. And the objective is to find best form of fractional-order differential equations such that the objective function is minimized. Simulations are done to reconstruct a series of hyper and normal fractional chaotic systems. The experiments' results show that the proposed self-growing mechanism of fractional-order differential equations with genetic operations is a successful methods for fractional-order chaotic systems' reconstruction, with the advantages of high precision and robustness.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법이 혼돈 시스템 재구성에서 부분적으로 알려진 매개변수나 분수계수를 필요로 하는 한계를 해결하기 위해.
• 리아프노프 안정성 이론에 의존하지 않고도 초, 비정상 및 정상 분수계수 혼돈 시스템을 통합적인 수학적 프레임워크로 재구성하기 위해.
• 최적화 기반의 새로운 접근법을 통해 혼돈 시스템의 미지 매개변수와 분수계수를 동시에 식별할 수 있도록 하기 위해.
• 기존 메타휴리스틱 방법의 민감성 및 수렴 문제를 해결하기 위해, 유전적 연산 내에 자가 성장 방정식 메커니즘을 통합함으로써.
• 다양한 혼돈 시스템, 특히 초혼돈 및 비정상 분수계수 시스템에 대해 제안된 방법의 강건성과 정확성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 분수계수 미분 방정식을 미지 매개변수 대신 독립 변수로 간주하는 새로운 통합 수학 모델이 도입된다.
• 적절한 목표 함수의 변환을 통해 재구성 문제를 다중 모드, 음이 아닌 특수 함수 최소화 문제로 변환한다.
• 후보 분수 미분 방정식의 진화를 위해 선택, 교차, 변이 등의 유전적 연산이 적용되며, 이를 통해 방정식의 구조가 자가 성장한다.
• 목표 함수는 관측된 시스템 궤적과 시뮬레이션된 궤적 간의 제곱차이의 합으로 정의되며, 진화 계산을 통해 최적화된다.
• 무한대 및 NaN 값을 시뮬레이션 중 0으로 강제 할당하는 전략을 통해 무한 루프를 방지하고 알고리즘의 안정성을 확보한다.
• 알고리즘 1을 통해 구현되며, 이는 분수계수 상미분방정식의 수치적 적분을 사용하여 후보 시스템을 반복적으로 진화시키고 적합도를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수와 분수계수 모두 완전히 미지인 상태에서 리아프노프 기반 방법에 의존하지 않고도 분수계수 혼돈 시스템을 재구성할 수 있는가?
• RQ2 데이터로부터 자동으로 정확한 시스템 구조를 발견할 수 있도록, 분수 미분 방정식에 대한 자가 성장 메커니즘을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 기존 방법과 비교해 볼 때 제안된 비-리아프노프 방법은 초혼돈 및 비정상 분수계수 혼돈 시스템 재구성에서 어떤 성능을 보이는가?
• RQ4 이 방법의 성공 여부는 초기 조건, 측정 간격, 데이터 포인트 수에 얼마나 의존하는가?
• RQ5 로렌츠, 켄, 루스러 및 리우 유형의 다양한 혼돈 시스템에서 시스템 역학에 대한 사전 지식 없이도 고정밀도 재구성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 초혼돈 및 정상 분수계수 혼돈 시스템, 즉 로렌츠, 켄, 루스러 및 리우 시스템을 고정밀도로 성공적으로 재구성하였다.
• 시뮬레이션 결과, 분수계수 로렌츠 시스템의 경우 D^q3_t z = x·y - (8/3)·z 와 같은 정확한 분수 미분 방정식 형태로 수렴함을 확인하였다.
• 다양한 테스트 케이스에서 강건한 성능을 보였으며, 그림 11과 12에서 보듯이 목적 함수 값이 세대에 따라 감소하는 경향을 보였다.
• 분수계수 로렌츠 시스템의 경우, D^q3_t z = x·y - (8/3)·z 와 같은 정확한 형태를 식별하였지만, 매개변수 b = 8/3 로의 수렴은 어려웠다.
• 목적 함수 값의 평균 및 최고 값(lg F)이 세대에 따라 감소하여 효과적인 최적화임을 나타내었으며, 100~200개의 데이터 포인트에서 수렴이 관찰되었다.
• NaN 및 무한대 값을 0으로 강제 할당하는 전략을 통해 발산하는 개체에 대한 저항력을 확보하여 알고리즘의 안정성을 유지하면서도 목적 함수 최소화에 영향을 주지 않았다.