[논문 리뷰] Recoverable Robust Single Machine Scheduling with Polyhedral Uncertainty

Matthew Bold, Marc Goerigk|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 12.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다각형 불확실성 하에서 단일 기계 스케줄링 문제에 대해 복구 가능한 강건성 접근법을 제안한다. 여기서 제1단계 스케줄은 처리 시간이 실현된 후 최대 Δ개의 분리된 작업 교환을 통해 조정될 수 있다. 작업 매칭과 할당 구조를 활용한 단순한 정수계획법 형태를 제안하며, 계산 결과에 따르면 단 한 번의 교환만으로도 복구의 대부분의 이점을 확보할 수 있으며, 특히 할당 기반 모델이 세 가지 제안된 형태 중에서 가장 강력한 것으로 나타났다.

ABSTRACT

This paper considers a recoverable robust single-machine scheduling problem under polyhedral uncertainty with the objective of minimising the total flow time. In this setting, a decision-maker must determine a first-stage schedule subject to the uncertain job processing times. Then following the realisation of these processing times, they have the option to swap the positions of up to Delta disjoint pairs of jobs to obtain a second-stage schedule. We first formulate this scheduling problem using a general recoverable robust framework, before we examine the incremental subproblem in further detail. We prove a general result for max-weight matching problems, showing that for edge weights of a specific form, the matching polytope can be fully characterised by polynomially many constraints. We use this result to derive a matching-based compact formulation for the full problem. Further analysis of the incremental problem leads to an additional assignment-based compact formulation. Computational results on budgeted uncertainty sets compare the relative strengths of the three compact models we propose.

연구 동기 및 목표

• 불확실한 작업 처리 시간 하에서 복구 가능한 강건성 프레임워크를 적용한 단일 기계 스케줄링 문제를 다루는 것.
• 제한된 복구 조치를 효율적으로 모델링할 수 있는 단순한 정수계획법 형태를 개발하는 것.
• 작업 교환의 증분 하위문제를 분석하여 매칭 및 할당 구조에 기반한 맞춤형 형태를 도출하는 것.
• 예산 불확실성 집합 하에서 여러 단순 형태의 계산 성능을 비교하는 것.
• 허용 가능한 교환 수(Δ)와 불확실성 예산(Γ)을 증가시킬 경우 해의 품질과 강건성에 미치는 영향을 조사하는 것.

제안 방법

• 불확실성 실현 후 최대 Δ개의 분리된 작업 교환을 통해 제1단계 스케줄을 조정하는 복구 가능한 강건 스케줄링 문제를 일반적 프레임워크로 기술한다.
• 특정 형태의 간선 가중치를 가진 경우, 이상 순환 불등식이 필요 없이 다항 수의 제약 조건로 매칭 다면체를 완전히 기술할 수 있음을 증명한다.
• 이 구조적 결과를 활용해 전체 문제에 대한 매칭 기반 단순 형태를 유도한다.
• 대칭적 할당 기반 단순 형태를 개발하여, 정수 매칭 결과를 이와 같은 대안 모델로 이전한다.
• 세 가지 정확한 모델을 제안한다: 매칭 기반, 할당 기반, 비교를 위한 Δ=0 제한 버전.
• n ≤ 20인 인스턴스를 대상으로 계산 실험을 수행하여 예산 불확실성 하에서 세 형태의 상대적 강도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 복구 교환을 고려한 복구 가능한 단일 기계 스케줄링 문제를 어떻게 단순한 정수계획법 형태로 공식화할 수 있는가?
• RQ2 작업 교환의 증분 하위문제에서 어떤 구조적 성질이 이상 순환 제약 조건 없이도 단순한 형태를 가능하게 하는가?
• RQ3 허용 가능한 교환 수(Δ)를 증가시킬 경우 목적 함수 값과 해의 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 불확실성 예산(Γ)을 증가시킬 경우, 다양한 복구 수준에서 최악의 총 흐름 시간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 세 가지 단순 형태 중에서 — 매칭 기반, 할당 기반, 제한 버전 — 어느 것이 가장 강력한 경계를 제공하고 가장 우수한 계산 성능을 보이는가?

주요 결과

• 제안된 세 가지 단순 모델 중 할당 기반 형태가 가장 강력하여 가장 날카운 경계와 가장 뛰어난 계산 성능을 제공한다.
• 단 한 번의 교환만으로도 복구의 대부분의 이점을 확보할 수 있으며, Δ를 1을 초과해 증가시켜도 목적 함수 향상에 대한 수익 감소가 나타난다.
• 고정된 Δ에 대해 불확실성 예산(Γ)을 증가시키면 최악의 총 흐름 시간이 단조적으로 증가하며, n=10인 경우 Γ가 3에서 7로 증가할 때 평균 목적 함수 값이 최대 22.1% 상승한다.
• Δ가 0에서 3으로 증가할 경우, n=15 및 n=20 인스턴스에서 평균적으로 목적 함수 값이 1.0% 감소하며, 추가 교환으로 인한 이점은 일관되지만 미미한 편이다.
• 특정 가중치 구조 하에서 해의 정수성 덕분에 매칭 기반 형태는 타당하고 단순하며, 이상 순환 불등식이 필요 없음을 보여준다.
• 계산 결과는 정확한 모델의 높은 계산 비용으로 인해 n ≤ 20인 인스턴스에 국한되어 있으며, 이는 대규모 응용에 히ュ리스틱 기법의 필요성을 시사한다.