[논문 리뷰] Recovery of Piecewise Smooth Images from Few Fourier Samples

Greg Ongie, Mathews Jacob|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 03.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 도메인 내에서의 소멸 관계를 활용하여 소수의 푸리에 샘플로부터 2차원 조각별로 스무스한 이미지를 복원하기 위한 프로니 유사 방법을 제안한다. 복원 과정을 구조화된 낮은 질서 행렬 완성 문제로 포지셔닝하고, 볼록 최적화를 통해 구현함으로써, 3,185개의 저해상도 푸리에 샘플만으로도 조각별로 일정한 이미지의 정확한 연속 도메인 복원이 가능하며, MRI 편광체에서의 성공적인 성과가 입증되었다.

ABSTRACT

We introduce a Prony-like method to recover a continuous domain 2-D piecewise smooth image from few of its Fourier samples. Assuming the discontinuity set of the image is localized to the zero level-set of a trigonometric polynomial, we show the Fourier transform coefficients of partial derivatives of the signal satisfy an annihilation relation. We present necessary and sufficient conditions for unique recovery of piecewise constant images using the above annihilation relation. We pose the recovery of the Fourier coefficients of the signal from the measurements as a convex matrix completion algorithm, which relies on the lifting of the Fourier data to a structured low-rank matrix; this approach jointly estimates the signal and the annihilating filter. Finally, we demonstrate our algorithm on the recovery of MRI phantoms from few low-resolution Fourier samples.

연구 동기 및 목표

• 기존의 압축 감지나 오프그리드 방법이 가장자리의 복잡한 구조로 인해 실패하는 경우가 많은 연속 도메인 내에서 조각별로 스무스한 이미지를 소수의 푸리에 샘플로부터 복원하는 문제에 대응한다.
• 이전의 복잡한 해석 신호 모델의 한계를 극복하기 위해 미분 연산자를 기반으로 한 더 현실적인 조각별로 스무스한 함수 모델을 도입한다.
• 조각별 일정한 이미지가 소수의 푸리에 샘플로부터 유일하게 복원될 수 있는 필요 및 충분 조건을 소멸 관계를 통해 수립한다.
• 푸리에 도메인에서 구조화된 낮은 질서 행렬 완성 문제를 통해 이미지와 그 가장자리 집합을 동시에 추정하는 단일 단계 볼록 최적화 프레임워크를 개발한다.
• 실제 세계의 편광체를 사용한 초해상도 MRI 복원에서 본 방법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 이미지의 부분에서 스무스하고 경계에서 불연속적인 함수로 2차원 조각별로 스무스한 이미지를 모델링하며, 이 경계는 삼각 다항식의 영수준집합으로 정의된다.
• 이미지의 푸리에 계수와 그 편도함수 사이의 소멸 관계를 유도하며, 이는 편도함수가 가장자리에 따라 선형 조합으로 딜라스를 형성하기 때문이다.
• 소멸 필터를 사용하여 푸리에 데이터를 구조화된 낮은 질서 행렬(T)으로 상향 변환하며, 이 행렬의 질서는 가장자리 영역의 수에 해당한다.
• 복원 문제를 볼록 행렬 완성 문제로 포지셔닝: 알려진 푸리에 샘플을 만족하는 조건 하에 행렬의 핵노름을 최소화하며, 확장성 확보를 위해 SVD를 사용하지 않는 ADMM 알고리즘을 적용한다.
• 상향 변환된 행렬을 이용해 단일 최적화 단계에서 가장자리 집합과 이미지 진폭을 동시에 추정함으로써, 이전 연구에서의 이중 단계 접근 방식을 피한다.
• 역 DFT를 통해 복원된 푸리에 계수를 고해상도 격자로 외삽함으로써, 이산화 오차 없이 정확한 연속 도메인 이미지 복원이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소멸 필터 접근법을 통해 최소한의 저주파 푸리에 샘플로부터 2차원 조각별로 스무스한 이미지의 가장자리 집합을 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 조각별 일정한 이미지의 정확한 복원을 위해 필요한 푸리에 샘플의 수에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 이미지 진폭과 가장자리 기하학의 동시 추정을 푸리에 도메인 내 단일 볼록 최적화 문제로 어떻게 공식화할 수 있는가?
• RQ4 구조화된 낮은 질서 행렬 완성 프레임워크를 사용하여, 가장자리 다항식의 차수에 대한 사전 지식 없이도 소수의 균일한 저해상도 푸리에 샘플로부터 고해상도 이미지를 복원할 수 있는가?
• RQ5 기존의 오프그리드 및 압축 감지 접근법과 비교할 때, 본 방법은 MRI 편광체 복원의 정확도 및 강인성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 조각별 일정한 이미지의 경우, 소멸 다항식의 차수에 기반하여 가장자리 집합의 유일한 복원을 위한 정확한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 본 방법은 단지 3,185개의 푸리에 샘플만으로도 256×256 크기의 쉬프-로그런 MRI 편광체를 성공적으로 복원하여, 약 20배의 샘플링 감소 조건에서도 고해상도 복원 성능을 보였다.
• 구조화된 낮은 질서 행렬 완성 기반의 단일 단계 볼록 최적화 알고리즘이 이중 단계 접근 방식보다 우수하며, 신호와 가장자리 집합을 동시에 추정함으로써 오차를 감소시키고 안정성을 향상시킨다.
• 핵노름 완화에 티호노프 정규화 항을 추가함으로써 노이즈 및 모델 불일치에 강인하며, 노이즈가 있는 환경에서도 실용적인 응용이 가능하다.
• 재구성된 이미지에 나타나는 레이징 아티팩트는 정확한 푸리에 계수 복원의 본질적인 특성이며, 경미한 후처리로 완화 가능하여 본 방법의 정확성을 확인한다.
• SVD를 사용하지 않는 ADMM 알고리즘을 통해 대규모 행렬 완성 문제를 효율적으로 해결할 수 있어, 고해상도 이미지 복원에 대한 본 방법의 실현 가능성을 높였다.