[논문 리뷰] Rectangle Free Coloring of Grids

Stephen Fenner, William Gasarch외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 20.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 축에 평행한 임의의 직사각형의 네 꼭짓점이 모두 같은 색으로 칠해지지 않도록 2, 3, 또는 4가지 색으로 칠할 수 있는 직사각형 격자들을 정확히 파악하는 문제를 해결한다. 조합적 구성과 유한체를 사용하여 c = 2, 3, 4에 대해 장애 집합을 완전히 특성화하며, c-색칠 가능성을 정확히 규명하고 이중 램지 수에 대한 새로운 경계를 도출한다.

ABSTRACT

A two-dimensional \emph{grid} is a set $\Gnm = [n] imes[m]$. A grid $\Gnm$ is \emph{$c$-colorable} if there is a function $χ_{n,m}: \Gnm o [c]$ such that there are no rectangles with all four corners the same color. We address the following question: for which values of $n$ and $m$ is $\Gnm$ $c$-colorable? This problem can be viewed as a bipartite Ramsey problem and is related to a the Gallai-Witt theorem (also called the multidimensioanl Van Der Waerden's Theorem). We determine (1) \emph{exactly} which grids are 2-colorable, (2) \emph{exactly} which grids are 3-colorable, and (3) \emph{exactly} which grids are 4-colorable. We use combinatorics, finite fields, and tournament graphs.

연구 동기 및 목표

• 축에 평행한 임의의 직사각형의 네 꼭짓점이 모두 같은 색이 되지 않도록 n×m 격자가 c-색칠 가능한 정확한 조건을 규명하는 것.
• c = 2, 3, 4에 대해 장애 집합 OBS_c를 특성화하는 것, 즉 c-색칠이 불가능한 최소 격자들.
• 결과를 바탕으로 이중 램지 수에 대한 새로운 경계를 도출하는 것.
• 직사각형 없음 색칠과 갈라이-위트 정리, 유한체 구성 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 축에 평행한 직사각형이 없는 집합과 함수 maxrf(n,m)를 사용하여 n×m 격자에서 가장 큰 직사각형 없음 부분집합의 크기를 구하는 것.
• 강한 c-색칠과 강한 (c,c')-색칠을 활용하여 체계적으로 유효한 색칠을 구성하는 것.
• 특히 소수 거듭제곱인 c에 대해 유한체 구성 기법을 적용하여 c²×c² 및 c²×(c²+c) 격자에 대해 명시적인 c-색칠을 생성하는 것.
• 특히 작은 n과 m에 대해 최대 크기의 직사각형 없음 집합을 구성하기 위해 조합 설계 기법을 활용하는 것.
• 격자가 c-색칠 가능하기는 조건이, 장애 집합 OBS_c에 속하는 어떤 격자도 포함하지 않는 것임을 이용하는 것.
• 분석적 구성이 불가능한 경우, 특히 OBS_4의 더 큰 격자들에 대해 컴퓨터 보조 검증을 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n과 m의 어떤 값에 대해 n×m 격자가 축에 평행한 임의의 직사각형의 네 꼭짓점이 모두 같은 색이 되지 않도록 c-색칠 가능한가?
• RQ2 c = 2, 3, 4에 대해 장애 집합 OBS_c의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ3 유한체 구성 기법이 c²×c² 및 c²×(c²+c) 격자에 대해 명시적인 c-색칠을 가능하게 하는 방식은 무엇인가?
• RQ4 직사각형 없음 색칠의 특성화를 바탕으로 이중 램지 수에 대해 어떤 새로운 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 소수 n과 m에 대해, n×m 격자에서 가장 큰 직사각형 없음 부분집합의 크기인 maxrf(n,m)의 정확한 값은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 장애 집합 OBS_2를 완전히 특성화한다: 격자가 2-색칠 가능하기는 조건이 G_{3,7} 또는 G_{7,3}을 포함하지 않을 때이다.
• c = 3일 때, 장애 집합 OBS_3는 정확히 13개의 격자로 이루어져 있으며, 가장 큰 것은 G_{10,10}이며, 이들 중 어느 것도 포함하지 않는 모든 격자는 3-색칠 가능하다.
• c = 4일 때, 장애 집합 OBS_4는 147개의 격자로 이루어져 있으며, 가장 큰 것은 G_{21,12}이며, 이들 중 어느 것도 포함하지 않는 모든 격자는 4-색칠 가능하다.
• 저자들은 임의의 소수 거듭제곱인 c에 대해 유한체 구성 기법을 사용하여 G_{c²,c²} 격자가 c-색칠 가능하다는 것을 증명한다.
• 또한 소수 거듭제곱인 c에 대해 G_{c²,c²+c}도 c-색칠 가능하다는 것을 보이며, 알려진 c-색칠 가능 격자의 범위를 확장한다.
• 논문은 0 ≤ n ≤ 6 및 m ≤ n인 모든 경우에 대해 maxrf(n,m)의 정확한 값을 제공하며, 더 큰 n과 m에 대해서는 재귀적이고 구성적인 경계를 제시한다.