[논문 리뷰] Rectifiability of Singular Sets in Noncollapsed Spaces with Ricci Curvature bounded below

Jeff Cheeger, Wenshuai Jiang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 38인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 하향 Ricci 곡률이 아래로 유계이면서 비수축된 리만 근처 공간에서 특이 집합의 직선성(rectifiability)을 확립한다. 이는 $k$-번째 층 $S^k$가 $k$-직선성임을 증명하고, $×^k$-거의 모든 $x\in S^k$에 대해 접선 원뿔이 $k$-대칭임을 보이며, 특이 집합 $S^{n-2}$가 유한한 $×^{n-2}$-측도를 가지며 $(n-2)$-직선성임을 보이고, 접선 원뿔이 $(n-2)$-차원 하우스도르프 측도 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 유일함을 보이며, 이는 이전의 정규성 결과를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the structure of Gromov-Hausdorff limit spaces $(M^n_i,g_i,p_i)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X^n,d,p)$ of Riemannian manifolds satisfying a uniform lower Ricci curvature bound $Rc_{M^n_i}\geq -(n-1)$ as well as the noncollapsing assumption $Vol(B_1(p_i))>v>0$. In such cases, there is a filtration of the singular set, $S_0\subset S_1\cdots S_{n-1}:= S$, where $S^k:= \{x\in X: ext{ no tangent cone at $x$ is }(k+1) ext{-symmetric}\}$; equivalently no tangent cone splits off a Euclidean factor $\mathbb{R}^{k+1}$ isometrically. Moreover, by \cite{ChCoI}, $\dim S^k\leq k$. However, little else has been understood about the structure of the singular set $S$. Our first result for such limit spaces $X^n$ states that $S^k$ is $k$-rectifiable. In fact, we will show that for $k$-a.e. $x\in S^k$, {\it every} tangent cone $X_x$ at $x$ is $k$-symmetric i.e. that $X_x= \mathbb{R}^k imes C(Y)$ where $C(Y)$ might depend on the particular $X_x$. We use this to show that there exists $ε=ε(n,v)$, and a $(n-2)$-rectifible set $S^{n-2}_ε$, with finite $(n-2)$-dimensional Hausdorff measure $H^{n-2}(S_ε^{n-2})

연구 동기 및 목표

• Gromov-Hausdorff 수렴하는 리만 다양체의 특이 집합의 미세한 구조를 이해한다.
• 이러한 근처 공간에서 $k$-번째 층 $S^k$의 직선성을 확립하여 이전의 차원 한계를 향상시킨다.
• $\u00d7^k$-거의 모든 $x\in S^k$에 대해, $x$에서의 모든 접선 원뿔이 $k$-대칭임을 보인다. 즉, $\mathbb{R}^k \times C(Y)$ 형태이다.
• 주어진 곡률 및 비수축 조건 하에서 특이 집합 $S^{n-2}$가 $(n-2)$-직선성이며 유한한 $\u00d7^{n-2}$-측도를 가짐을 보이며, 정규 부분은 매끄러운 리만 다양체와 이중- Hölder 동치임을 증명한다.
• 접선 원뿔이 $(n-2)$-차원 하우스도르프 측도 0인 집합을 제외한 거의 모든 점에서 유일함을 확립하며, 이중 Ricci 곡률 유계 조건 하에서 코디멘션 4 추측에 대한 새로운 증명을 제공한다.

제안 방법

• ChNa13에서 소개된 정량적 분할 프레임워크를 활용하여, 접선 원뿔의 대칭 정도를 측정함으로써 고전적 분할을 정교화한다.
• 목 영역에서 조화 함수의 열화를 제어하기 위해 정밀한 원뿔 분할 정리(cone-splitting theorem)를 도입한다.
• 한계 원뿔 위에서 조화 함수를 분석하고 헤시안 감쇠 추정을 유도하기 위해 기하학적 변환 정리(geometric transformation theorem)를 적용한다.
• 히트 커널 기반 분석을 사용하여, 메트릭이 교차면 위의 메트릭 원뿔과 근사적으로 일치하는 영역인 목 영역과 목 분해를 활용한다.
• 피카르레 부등식과 $W^{1,2}$ 수렴을 적용하여 근사 수열에서 함수의 행동을 제어한다.
• $\epsilon$-정규성과 엔트로피 압착을 활용하여 목 영역의 구조를 분석하고 특이 집합의 크기를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비수축된 Ricci 근처 공간에서 특이 집합의 $k$-번째 층 $S^k$는 $k$-직선성인가?
• RQ2 $\u00d7^k$-거의 모든 $x\in S^k$에 대해, $x$에서의 모든 접선 원뿔이 $k$-대칭인가? 즉, $\mathbb{R}^k \times C(Y)$ 형태인가?
• RQ3 주어진 곡률 및 비수축 조건 하에서 특이 집합 $S^{n-2}$가 $(n-2)$-직선성이며 유한한 $\u00d7^{n-2}$-측도를 가짐을 보일 수 있는가?
• RQ4 특이 집합의 $\u00d7^{n-2}$-거의 모든 점에서 접선 원뿔이 유일한가?
• RQ5 목 영역의 구조는 이중 Ricci 곡률 유계 조건 하에서 코디멘션 4 추측에 대한 새로운 증명을 가능하게 하는가?

주요 결과

• $k$-번째 층 $S^k$는 각각 $k=0,\dots,n-1$에 대해 $k$-직선성이며, $\u00d7^k(S^k) < \infty$이다.
• $\u00d7^k$-거의 모든 $x\in S^k$에 대해, $x$에서의 모든 접선 원뿔은 $k$-대칭이며, 즉 $X_x = \mathbb{R}^k \times C(Y)$ 형태의 어떤 메트릭 공간 $C(Y)$에 대해 성립한다.
• $\epsilon = \epsilon(n,\mathrm{v}) > 0$이 존재하여, 집합 $S^{n-2}_\epsilon$는 $(n-2)$-직선성이며 $\u00d7^{n-2}(S^{n-2}_\epsilon) < C(n,\mathrm{v}) < \infty$이다.
• 정규 부분 $X^{n} \setminus S^{n-2}_\epsilon$는 매끄러운 리만 다양체와 이중-Hölder 동치이다.
• 특이 집합의 $\u00d7^{n-2}$-거의 모든 점에서 접선 원뿔이 유일하며, 즉 접선 원뿔이 유일하지 않은 점들의 집합은 $(n-2)$-차원 하우스도르프 측도 0을 가진다.
• 이중 Ricci 곡률 유계 조건 $|\mathrm{Ric}| \leq n-1$ 하에서 특이 집합 $\mathrm{Sing}(X)$는 $(n-4)$-직선성이며, $\u00d7^{n-4}$-측도가 일관되게 유계이며, 접선 원뿔은 $(n-4)$-차원 하우스도르프 측도 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 유일하다.