[논문 리뷰] Recurrence, pointwise almost periodicity and orbit closure relation for flows and foliations

Tomoo Yokoyama|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 닫힘 연결 표면 위의 연속 흐름과 컴act 다양체 위의 codimension-one 분할에 대해 재귀성, 점별 거의 주기성, 궤도 폐쇄 관계(R-닫힘성)의 등가 특성화를 수립한다. 표면 위의 벡터장에 대해선 점별 재귀성, 점별 거의 주기성, 최소성 또는 점별 주기성이 서로 등가임을 증명한다; 정칙 벡터장의 경우 이들은 궤도 폐쇄 관계 R이 닫혀 있음과도 등가이다. codimension-one 분할의 경우 점별 거의 주기성, 최소성 또는 컴팩턴스, R-닫힘성은 서로 등가이다.

ABSTRACT

In this paper, we obtain a characterizations of the recurrence of a continuous vector field $w$ of a closed connected surface $M$ as follows. The following are equivalent: 1) $w$ is pointwise recurrent. 2)$w$ is pointwise almost periodic. 3) $w$ is minimal or pointwise periodic. Moreover, if $w$ is regular, then the following are equivalent: 1) $w$ is pointwise recurrent. 2)$w$ is minimal or the orbit space $M/w$ is either $[0,1]$, or $S^1$. 3) $R$ is closed (where $R := \{(x,y) \in M imes M \mid y \in \bar{O(x)} \}$ is the orbit closure relation). On the other hand, we show that the following are equivalent for a codimension one foliation $\mathcal{F}$ on a compact manifold: 1) $\mathcal{F}$ is pointwise almost periodic. 2) $\mathcal{F}$ is minimal or compact. 3) $\mathcal{F}$ is $R$-closed. Also we show that if a foliated space on a compact metrizable space is either minimal or is both compact and without infinite holonomy, then it is $R$-closed.

연구 동기 및 목표

• 닫힘 연결 표면 위의 연속 흐름에서 재귀성과 거의 주기성을 특성화하기.
• 표면 위의 벡터장에 대해 궤도 폐쇄 관계 R이 언제 닫혀 있는지 규명하기.
• 이러한 등가성을 컴팩트 다양체 위의 codimension-one 분할로 확장하기.
• 분할된 공간에서 최소성, 컴팩턴스, R-닫힘성 간의 관계 조사하기.
• 점별 거의 주기성이 R-닫힘성을 함의하는 조건과 그 역을 명확히 하기.

제안 방법

• 궤도 폐쇄 관계 R = {(x,y) ∈ M×M | y ∈ cl(O(x))} 를 정의하여 위상적 역학 분석하기.
• 넷 수렴, 관계의 닫힘성, 몫공간 성질 등의 위상적 도구 적용하기.
• 콤팩트 하우스도르프 조건 하에서 점별 거의 주기성과 궤도 폐쇄 관계의 닫힘성 간 등가성 활용하기.
• 일반적으로 R-닫힘성이 점별 거의 주기성을 함의하지 않음을 보이기 위해 반례 구성하기.
• 무리 회전과 기호 역학 등을 포함한 컴팩트 미터라이저블 공간 위의 동역학계를 활용해 경계 케이스 테스트하기.
• 분할의 분해 이론과 동치관계 분석을 통해 R이 닫혀 있는 조건 규명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힘 연결 표면 위의 연속 벡터장에 대해 점별 재귀성과 점별 거의 주기성은 등가인가?
• RQ2 표면 위의 정칙 벡터장에 대해 궤도 폐쇄 관계 R이 언제 닫혀 있는가?
• RQ3 컴팩트 다양체 위의 codimension-one 분할에서 점별 거의 주기성은 언제 최소성 또는 컴팩턴스와 등가인가?
• RQ4 분할에 대해 R-닫힘성과 점별 거의 주기성은 등가인가?
• RQ5 점별 주기적 흐름은 주기적이지 않더라도 R-닫힐 수 있는가?

주요 결과

• 닫힘 연결 표면 위의 연속 벡터장 w에 대해, w는 점별 재귀일 필요충분조건으로 점별 거의 주기적이며, 필요충분조건으로 최소이거나 점별 주기적이다.
• w가 정칙이면, 점별 재귀성은 w가 최소이거나 궤도 공간 M/w 가 [0,1] 또는 S¹ 위호모토픽일 때와 등가이다.
• 정칙 벡터장의 경우 궤도 폐쇄 관계 R이 닫혀 있음과 w가 점별 재귀임은 서로 등가이다.
• 컴팩트 연결 다양체 위의 codimension-one 분할 F에 대해, F는 점별 거의 주기일 필요충분조건으로 최소이거나 컴팩트이다.
• 이러한 분할에 대해 점별 거의 주기성은 F가 R-닫혀 있음과 등가이다.
• 컴팩트 미터라이저블 공간 위의 분할된 공간이 최소이거나, 동시에 컴팩트하고 무한 휠링이 없으면, 그것은 R-닫혀 있다.