[논문 리뷰] Recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials

Jun Ma, Shi-Mei Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이항 오일러 다항식에 대한 재귀관계에 대한 세 가지 구조적 증명을 수립하며, 특수한 치환 집합에서 내림차순과 오르막차순 통계를 이용한 이항 오일러 다항식의 대칭성 문제에 대한 이분적 해법을 제시한다. 주요 기여는 $k$-등등 실수 초평면 배치의 여집합의 베티 수에 대한 조합적 해석을 치환에서의 부호화된 순환 통계를 통해 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Binomial-Eulerian polynomials were introduced by Postnikov, Reiner and Williams. In this paper, properties of the binomial-Eulerian polynomials, including recurrence relations and generating functions are studied. We present three constructive proofs of the recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials. Moreover, we give a combinatorial interpretation of the Betti number of the complement of the k-equal real hyperplane arrangement.

연구 동기 및 목표

• 이항 오일러 다항식에 대한 재귀관계에 대한 구조적 증명을 제공한다.
• 문제 1.2를 해결하기 위해 $\widetilde{A}_n(x)$의 대칭성을 $\mathcal{Q}_n$에서의 내림차순과 오르막차순 통계를 이용한 이분적 증명을 제시한다.
• $k$-등등 실수 초평면 배열의 여집합의 베티 수에 대한 조합적 해석을 수립한다.
• 다변수 이항 오일러 다항식의 생성함수를 유도하고, 기존의 직교 다항식과의 관계를 규명한다.

제안 방법

• 지수 생성함수와 미분방정식을 이용해 $\widetilde{A}_n(x)$에 대한 재귀관계를 유도한다.
• 조합적 기법과 대수적 기법을 융합하여 $\widetilde{A}_n(x)$에 대한 재귀관계에 대한 세 가지 서로 다른 증명을 구성한다.
• 치환에서의 부호화된 순환 통계와 초월 통계를 모델링하기 위해 다변수 생성함수 $\widetilde{A}(x,y,q;z)$를 도입한다.
• 생성함수를 이용해 $\widetilde{A}_n(x,1,-1,-1)$ 및 $\widetilde{A}_n(x,1,-1,1)$와 관련된 항등식을 유도하고, 이를 베티 수와 연결한다.
• $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$에서 순환 통계의 합으로 정의된 다항식 $T_n(q)$와 샤를리에 다항식 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 직교 샤를리에 다항식과의 관련성을 통해 $T_n(q)$가 오직 실근만을 가짐을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이항 오일러 다항식 $\widetilde{A}_n(x)$의 대칭성은 $\mathcal{Q}_n$에서의 내림차순과 오르막차순 통계를 이용해 이분적으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 $k$-등등 실수 초평면 배열의 여집합의 베티 수 $B(n,k)$는 어떤 조합적 의미를 갖는가?
• RQ3 다변수 생성함수로 표현된 이항 오일러 다항식은 치환에서의 부호화된 통계를 어떻게 코딩하는가?
• RQ4 순환 수를 세는 다항식 $T_n(q)$와 고전적 직교 다항식 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$에서 순환 통계를 통해 정의된 다항식 $T_n(q)$는 오직 실근만을 갖는가?

주요 결과

• $\widetilde{A}_n(x)$에 대한 재귀관계는 세 가지 서로 다른 구조적 방식으로 증명되었으며, 정리 2.11은 $\mathcal{Q}_n$에서의 내림차순과 오르막차순 통계를 통해 $\widetilde{A}_n(x)$의 대칭성에 대한 이분적 증명을 제공한다.
• 베티 수 $B(n,k)$는 $n-k$개의 초월을 갖는 치환에 대해 $\sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} (-1)^{{\rm cyc}(\sigma)+{\rm aexc}(\sigma)}$로 주어지는 부호화된 합으로 조합적으로 해석된다.
• 베티 수와 지수 생성함수를 연결하는 식 $\sum_{n \geq 0} B_n(x) \frac{z^n}{n!} = \frac{e^z + x e^{(2+x)z}}{1+x}$ 가 도출되었다.
• 순환 수를 세는 다항식 $T_n(q) = \sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} q^{{\rm cyc}(\sigma)}$ 는 $T_0(q) = q$, $T_1(q) = q + q^2$ 를 만족하는 재귀관계 $T_{n+1}(q) = (n+1+q)T_n(q) - nT_{n-1}(q)$ 를 만족한다.
• $T_n(q)$가 $(-1)^n q C_n^{(1)}(-q)$ 와 동일하며, 여기서 $C_n^{(1)}(x)$ 는 샤를리에 다항식이므로, $T_n(q)$ 는 모든 $n \geq 0$ 에 대해 오직 실근만을 가짐을 보였다.
• $n \geq 2$ 에 대해 $\sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} (-1)^{{\rm cyc}(\sigma)} = n-1$ 이 성립함을 증명하여, 교대 순환 합의 닫힌 형식 평가를 제공하였다.