[논문 리뷰] Recurrent flow patterns as a basis for turbulence: predicting statistics from structures

Jacob Page, Peter Nørgaard외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 22.

Scientific Research and Discoveries인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자동 미분과 딥 러닝을 활용한 새로운 방법을 제시하여 2차원 코르골로프 유동에서 수백 개의 불안정한 주기 궤도(UPOs)를 발견함으로써, UPO 통계의 가중합으로 처음으로 난류 확률 밀도 함수(PDFs)를 재구성하는 데 성공한다. 이 방법은 해를 찾는 데 사용되는 궤도 기반 손실 최소화와, 난류 상태를 UPO로 매핑하는 딥 컨volution 오토에인코드를 조합하며, 마르코프 체인 모델링을 통해 가중치를 학습한다.

ABSTRACT

A dynamical systems approach to turbulence envisions the flow as a trajectory through a high-dimensional state space transiently visiting the neighbourhoods of unstable simple invariant solutions (E. Hopf, Commun. Appl. Maths 1, 303, 1948). The hope has always been to turn this appealing picture into a predictive framework where the statistics of the flow follows from a weighted sum of the statistics of each simple invariant solution. Two outstanding obstacles have prevented this goal from being achieved: (1) paucity of known solutions and (2) the lack of a rational theory for predicting the required weights. Here we describe a method to substantially solve these problems, and thereby provide the first compelling evidence that the PDFs of a fully developed turbulent flow can be reconstructed with a set of unstable periodic orbits. Our new method for finding solutions uses automatic differentiation, with high-quality guesses constructed by minimising a trajectory-dependent loss function. We use this approach to find hundreds of new solutions in turbulent, two-dimensional Kolmogorov flow. Robust statistical predictions are then computed by learning weights after converting a turbulent trajectory into a Markov chain for which the states are individual solutions, and the nearest solution to a given snapshot is determined using a deep convolutional autoencoder. To our knowledge, this is the first time the PDFs of a spatio-temporally-chaotic system have been successfully reproduced with a set of simple invariant states, and provides a fascinating connection between self-sustaining dynamical processes and the more well-known statistical properties of turbulence.

연구 동기 및 목표

• 난류 통계를 예측하는 데 있어 기존에 부족하고 잘 가중치가 부여되지 않은 불안정한 주기 궤도(UPOs) 문제를 해결하기 위해.
• 초기 추측값에 민감한 루트 찾기 알고리즘으로 인해 고 레이놀즈 수 난류에서 UPO를 찾는 데 발생하는 계산적 어려움을 해결하기 위해.
• 난류 궤도에서의 재현 빈도에 기반해 UPO에 가중치를 할당하는 합리적이고 데이터 기반의 방법을 개발하기 위해.
• 간단한 불변 해의 역학과 완전히 발달한 난류의 통계적 성질을 연결하는 예측 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 궤도에 따라 변하는 손실 함수를 최소화하기 위해 자동 미분를 활용하여, 난류 유동에서 UPO의 고품질 초깃값을 생성한다.
• 딥 컨volution 오토에인코드를 사용하여 난류 유동 스냅샷을 가장 가까운 UPO로 매핑함으로써, 마르코프 체인 프레임워크 내에서 상태 레이블링을 가능하게 한다.
• 상태가 UPO에 대응하고, 이웃 UPO로의 방문 빈도에서 유도된 전이 확률을 갖는 마르코프 체인을 구성한다.
• 각 UPO의 가중치를 마르코프 체인의 정적 분포를 푸는 방식으로 학습하여, 각 해에 머무른 시간을 나타낸다.
• 이 프레임워크를 고 레이놀즈 수에서의 2차원 코르골로프 유동에 적용하여 수백 개의 새로운 UPO를 발견한다.
• 직접 수치 시뮬레이션 데이터와의 비교를 통해 재구성된 주요 관측량(예: 에너지, 소산)의 PDF를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현대 최적화 및 학습 기법을 활용하여 고 레이놀즈 수 난류에서 불안정한 주기 궤도(UPOs)를 체계적으로 발견할 수 있는가?
• RQ2 UPO가 매우 불안정하더라도, UPO 성질의 가중합으로 난류 유동의 통계를 정확히 재구성할 수 있는가?
• RQ3 딥 러닝 기반 상태 레이블링 방법이 난류 스냅샷을 UPO로 신뢰성 있게 할당할 수 있는가, 이를 통해 통계적 추론이 가능한가?
• RQ4 UPO가 난류 유동에서 머무른 상대적 시간을 반영하는 합리적이고 데이터 기반의 가중치 할당 방법이 존재하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 단순한 불변 해의 역학만을 사용하여 스파티오텀포럴적으로 혼돈적인 시스템의 전체 확률 밀도 함수(PDFs)를 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 고 레이놀즈 수에서 2차원 코르골로프 유동에서 100개 이상의 새로운 불안정한 주기 궤도(UPOs)를 성공적으로 발견하여 알려진 불변 해 집합을 크게 확장하였다.
• 에너지 및 소산과 같은 주요 관측량의 재구성된 PDF는 직접 수치 시뮬레이션과 뛰어난 일치를 보였으며, 여러 통계에서 상관계수 0.95를 초과하였다.
• UPO 간 전이에 기반한 마르코프 체인 모델은 난류 유동의 시간 평균 통계를 정확히 반영하는 정적 분포를 달성하였다.
• 딥 컨volution 오토에인코드는 난류 스냅샷과 그에 가장 가까운 UPO 사이의 잔차 노름에서 재구성 오차가 0.03 이하를 기록하여 강력한 상태 레이블링을 보였다.
• 이 방법은 매우 불안정한 UPO들(예: ⟨D/Dₗ⟩ ≈ 4.8)이 난류의 통계적 기술에 의미 있는 기여를 한다는 것을 입증하였다.
• 이 프레임워크는 스파티오텀포럴적으로 혼돈적인 시스템의 전체 PDF가 유한한 수의 불안정한 주기 궤도와 그들의 동역학적 가중치만을 사용하여 재구성될 수 있다는 첫 번째 설득력 있는 증거를 제공한다.