[논문 리뷰] Recurrent Relations for Multiple of Triangular Numbers being Triangular Numbers

Vladimir Pletser|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 31.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼각수 중 다른 삼각수의 배수인 삼각수에 대한 반복 관계를 유도하며, 비제곱 양의 정수 배수 k에 대해 무수히 많은 해가 존재함을 보여준다. 이는 펠 방정식 기반의 반복 관계와 폐쇄형 해를 제공하며, 제곱인 k에 대해서는 해가 유한하고 특정 k 값에 따라 달라진다.

ABSTRACT

We search for triangular numbers that are multiples of other triangular numbers. It is found that for any positive non-square integer multiplier, there is an infinity of multiples of triangular numbers that are triangular numbers and recurrent relations are deduced theoretically. If the multiplier is a squared integer, there is either one or no solution, depending on the multiplier value.

연구 동기 및 목표

• 다른 삼각수 T_t의 정수 배수 kT_t와 같은 삼각수 T_ξ를 모두 식별하는 것.
• k가 비제곱 양의 정수일 경우, 해의 수열 (t_n, ξ_n)에 대한 일반적인 반복 관계를 유도하는 것.
• 비율 t_n/t_{n−r}의 규칙성에 의해 정의되는 '계수' r의 개념을 도입하여 해 수열의 구조를 분석하는 것.
• k가 완전제곱일 경우 해가 존재하는 조건을 규명하고, k에 따라 하나 또는 해가 존재하지 않는다는 것을 보여주는 것.
• 상수 계수를 가진 선형 반복을 사용하여 t_n, ξ_n, T_t, T_ξ에 대한 폐쇄형 표현과 반복 관계를 제공하는 것.

제안 방법

• 디오판틴 방정식 T_ξ = kT_t를 x = 2ξ + 1 및 y = 2t + 1로 치환하여 일반화된 펠 방정식 x² − ky² = 1 − k로 변환하는 것.
• k가 비제곱 양의 정수일 경우, 무한히 많은 해가 존재함을 펠 방정식 이론을 통해 증명하는 것.
• 비율 t_n / t_{n−r}가 약간의 정규성 또는 규칙적인 감소를 보일 때, 가장 작은 정수 r을 '계수'로 정의하여 순서 2r의 반복을 가능하게 하는 것.
• t_n 및 ξ_n에 대해 X_n = 2(κ + 1)X_{n−r} − X_{n−2r} + κ 형태의 반복 관계를 유도하는 것. 여기서 κ = t_r + t_{r−1} = ξ_r − ξ_{r−1} − 1.
• 초기 조건 λ_{−1} = −1, λ_0 = 0, λ_1 = 1 및 ξ_0 = 0, ξ_1 = t를 갖는 보조 수열을 사용하여 λ_n 및 ξ_n에 대한 반복 관계를 수립하는 것.
• k = λ_n²일 경우, k_n = λ_n² 값이 T_ξ = kT_t의 유효한 해를 제공함을 증명하고, 증가하는 λ_n 및 k < 10⁴에 대해 해를 표로 정리하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비제곱 양의 정수 k에 대해, T_ξ = kT_t를 만족하는 삼각수 T_ξ가 무수히 많이 존재하는가?
• RQ2 이러한 k에 대해 해 수열 (t_n, ξ_n)의 구조는 어떻게 되며, 이는 반복 관계로 기술될 수 있는가?
• RQ3 계수 r의 개념을 어떻게 형식적으로 정의하고, 이를 통해 순서 2r의 해 수열에 대한 반복 관계를 유도할 수 있는가?
• RQ4 k가 완전제곱일 경우 해가 존재하는 조건은 무엇이며, 이러한 경우 해의 개수는 몇 개인가?
• RQ5 매개수 κ 및 r을 사용하여 t_n, ξ_n, T_t, T_ξ에 대한 폐쇄형 반복 관계를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 양의 비제곱 정수 k에 대해, T_ξ = kT_t를 만족하는 해 (ξ, t)가 무수히 많으며, 이는 관련된 펠 방정식의 해 존재성에 의해 보장된다.
• 해 수열 (t_n, ξ_n)은 X_n = 2(κ + 1)X_{n−r} − X_{n−2r} + κ 형태의 2차 선형 반복을 만족하며, 여기서 r은 계수이고 κ는 초기 해 쌍에서 유도된 상수이다.
• k = λ_n²일 경우, k_n = λ_n² 값이 유효한 해를 제공하며, t = 1에서 6까지의 첫 다섯 개의 k_n 및 ξ_n 값은 표로 정리되어 있으며, k_n는 제곱수이고 t = 1일 경우 삼각수임을 보여준다.
• k가 완전제곱일 경우, 특정 k 값에 대해서만 해가 존재한다. 예를 들어 k = 1, 36, 100, 196, 324, ...이며, 각 k에 대해 하나 또는 해가 존재하지 않는 것으로 확인된다 (표 7 참조).
• λ_n의 반복은 λ_n = (4t + 2)λ_{n−1} − λ_{n−2}이며, 초기 조건는 λ_{−1} = −1, λ_0 = 0, λ_1 = 1이다. ξ_n의 반복은 ξ_n = (4t + 2)ξ_{n−1} − ξ_{n−2} + 2t이며, 초기 조건는 ξ_0 = 0, ξ_1 = t이다.
• t = 1일 경우, k_n = λ_n² 수열은 OEIS A001110(동시에 제곱수이자 삼각수인 수)와 일치하며, ξ_n 수열은 OEIS A001108과 일치한다.