[논문 리뷰] Recursion operators and bi-Hamiltonian structure of the general heavenly equation

M. B. Sheftel, А А Малых외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 13.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반 천체 방정식(GHE)을 두 성분의 진화 시스템으로 재구성함으로써, 세 개의 비국소 재귀 연산자와 이중 해밀턴 구조를 수립한다. 라플라스 쌍 분해와 P. 올버의 기능적 다중벡터 이론을 활용하여, 한 개의 비국소 재귀 연산자를 유도하고, 이를 첫 번째 해밀턴 연산자와 조합하여 두 번째를 얻으며, 자코비 항등식과 호환성을 검증함으로써 이 시스템이 매그리-적분 가능하다는 것을 증명한다. 이 방법은 형식적 수반 재귀 연산자를 통해 무한한 비국소 대칭의 계열을 생성한다.

ABSTRACT

We discover two additional Lax pairs and three nonlocal recursion operators for symmetries of the general heavenly equation introduced by Doubrov and Ferapontov. Converting the equation to a two-component form, we obtain Lagrangian and Hamiltonian structures of the two-component general heavenly system. We study all point symmetries of the two-component system and, using the inverse Noether theorem in the Hamiltonian form, obtain all the integrals of motion corresponding to each variational (Noether) symmetry. We discover that in the two-component form we have only a single nonlocal recursion operator. Composing the recursion operator with the first Hamiltonian operator we obtain second Hamiltonian operator. We check the Jacobi identities for the second Hamiltonian operator and compatibility of the two Hamiltonian structures using P. Olver's theory of functional multi-vectors. Our well-founded conjecture is that P. Olver's method works fine for nonlocal operators. We show that the general heavenly equation in the two-component form is a bi-Hamiltonian system integrable in the sense of Magri. We demonstrate how to obtain nonlocal Hamiltonian flows generated by local Hamiltonians by using formal adjoint recursion operator.

연구 동기 및 목표

• 일반 천체 방정식(GHE)의 대칭에 대한 재귀 연산자를 구성하여 GHE의 적분 가능성 프레임워크를 확장한다.
• 일성분 GHE를 두 성분의 진화 시스템으로 재구성하여 해밀턴 및 라그랑지안 구조를 가능하게 한다.
• 해밀턴 형식의 역 노이터 정리 적용을 통해 변분 대칭에 대응하는 모든 운동량 보존량을 유도한다.
• 특히 비국소 연산자에 대해 P. 올버의 기능적 다중벡터 이론을 사용하여 GHE 시스템의 이중 해밀턴 구조를 검증한다.
• 형식적 수반 재귀 연산자를 사용하여 비국소 대칭과 보존법칙의 무한 계열을 체계적으로 생성한다.

제안 방법

• 스펙트럴 매개변수 λ에 대해 GHE의 원래 라플라스 쌍을 분해하여 세 개의 서로 다른 라플라스 쌍과 그에 상응하는 재귀 연산자를 도출한다.
• 보조 변수를 도입하여 일성분 GHE를 두 성분의 진화 시스템으로 변환함으로써 라그랑지안 및 해밀턴 구조의 구성이 가능하도록 한다.
• 해밀턴 형식의 역 노이터 정리를 적용하여 두 성분 시스템의 점 대칭에 대응하는 모든 운동량 보존량을 식별한다.
• P. 올버의 기능적 다중벡터 이론을 사용하여 두 번째 해밀턴 연산자가 자코비 항등식을 만족하고, 두 해밀턴 구조가 상호 호환됨을 검증한다.
• 재귀 연산자 R과 첫 번째 해밀턴 연산자 J₀를 사용하여 두 번째 해밀턴 연산자 J₁ = R J₀를 구성한다.
• 형식적 수반 재귀 연산자 Rᵀ를 반복적으로 적용하여 해밀턴의 변분도함수로부터 고차 비국소 대칭과 보존량을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파트너 대칭 방법이 실패할 경우조차, 라플라스 쌍 분해를 통해 일반 천체 방정식의 대칭에 대한 재귀 연산자를 도출할 수 있는가?
• RQ2 GHE의 두 성분 진화 형태는 이중 해밀턴 구조를 갖는가? 만약 그렇다면, 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 P. 올버의 기능적 다중벡터 이론은 비국소 해밀턴 연산자에 적용될 수 있으며, 타당한 자코비 항등식과 호환성 조건을 도출하는가?
• RQ4 형식적 수반 재귀 연산자를 사용하여 국소 해밀턴 함수에서 비국소 대칭과 보존법칙을 어떻게 체계적으로 생성할 수 있는가?
• RQ5 재귀 연산자는 두 성분 GHE 시스템에서 무한한 차수의 보존량과 대칭의 계열을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 라플라스 쌍 분해를 통해 일반 천체 방정식에 대해 세 개의 비국소 재귀 연산자가 도출되었으며, 그 중 하나는 주요 두 성분 시스템에 적용 가능한 것으로 확인되었다.
• 두 성분 형태의 GHE는 라그랑지안, 심플렉틱, 해밀턴 구조를 모두 갖는다. 이는 노이터 정리와 역 노이터 정리의 적용이 가능함을 의미한다.
• 두 성분 시스템의 모든 점 대칭이 분류되었으며, 해밀턴 형식의 역 노이터 정리를 통해 대응하는 운동량 보존량이 도출되었다.
• 두 번째 해밀턴 연산자 J₁ = R J₀가 구성되었고, 자코비 항등식과 J₀와의 호환성 검증을 통해 이중 해밀턴 구조가 확인되었다.
• 형식적 수반 재귀 연산자 Rᵀ는 국소 해밀턴 함수로부터 비국소 해밀턴 흐름의 무한 계열을 생성하며, 고차 보존량과 대칭의 구성이 가능하게 한다.
• 저자들은 P. 올버의 기능적 다중벡터 이론이 비국소 연산자에 적용될 수 있음을 강력한 증거로 제시한다. 비국소 항목이 자코비 항등식 검증 과정에서 상쇄되기 때문에, 이 이론의 일반화에 대한 타당한 추측이 뒷받침된다.